Determinar a equação de um cone cujo vértice coincide com a origem das coordenadas e cuja diretriz é dada pelas equações .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de um cone cujo vértice está na origem das coordenadas. A diretriz desse cone é dada pelas equações e . O conteúdo envolvido aqui é geometria analítica, especialmente o estudo de superfícies cônicas como o cone. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação que relaciona as coordenadas , e que descrevem todos os pontos do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da diretriz, que é a interseção das duas superfícies dadas pelas equações e . Para isso, podemos resolver o sistema dessas duas equações para expressar e em termos de .
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Então, a equação paramétrica da diretriz é:
onde é o parâmetro.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todas as retas que passam pela origem r = lambda cdot P e por um ponto qualquer da diretriz. Uma reta no espaço pode ser descrita parametrizando r = lambda ( t, t^2 - 12, t^2 + 12 ) de tal forma que cada ponto dessa reta satisfaça:
x = lambda t, y = lambda t^2 - 12, z = lambda t^2 + 12
onde é um ponto na diretriz e é um parâmetro real.
Substituindo os valores paramétricos encontrados:
Isso nos dá as coordenadas de um ponto qualquer na reta:
Passo 4
Para encontrar a equação do cone, vamos eliminar os parâmetros lambda = xt e y = xt cdot t^2 - 12 = x(t^2 - 1)2t das equações acima. Primeiro, isolamos z = xt cdot t^2 + 12 = x(t^2 + 1)2t em termos de e :
Substituindo nas equações de e :
Passo 5
Agora, vamos eliminar o parâmetro yz = x(t^2 - 1)2tx(t^2 + 1)2t = t^2 - 1t^2 + 1 . Observando as equações de y(t^2 + 1) = z(t^2 - 1) Rightarrow yt^2 + y = zt^2 - z Rightarrow t^2(y - z) = -y - z e t^2 = -y - zy - z , podemos dividir uma pela outra: