Determinar a equação de um cone cujo vértice coincide com a origem das coordenadas e cuja diretriz é dada pelas equações x^2-2 z+1=0, y-z+1=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de um cone cujo vértice está na origem das coordenadas. A diretriz desse cone é dada pelas equações e . O conteúdo envolvido aqui é geometria analítica, especialmente o estudo de superfícies cônicas como o cone. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação que relaciona as coordenadas , e que descrevem todos os pontos do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da diretriz, que é a interseção das duas superfícies dadas pelas equações y = z - 1 e x^2 - 2z + 1 = 0 Rightarrow 2z = x^2 + 1 Rightarrow z = x^2 + 12 . Para isso, podemos resolver o sistema dessas duas equações para expressar x = t y = t^2 + 12 - 1 = t^2 - 12 z = t^2 + 12 e em termos de .
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Então, a equação paramétrica da diretriz é:
onde é o parâmetro.

Passo 3

Agora, queremos encontrar todas as retas que passam pela origem r = lambda cdot P e por um ponto qualquer da diretriz. Uma reta no espaço pode ser descrita parametrizando r = lambda ( t, t^2 - 12, t^2 + 12 ) de tal forma que cada ponto dessa reta satisfaça:
x = lambda t, y = lambda t^2 - 12, z = lambda t^2 + 12
onde é um ponto na diretriz e é um parâmetro real.
Substituindo os valores paramétricos encontrados:
Isso nos dá as coordenadas de um ponto qualquer na reta:

Passo 4

Para encontrar a equação do cone, vamos eliminar os parâmetros lambda = xt e y = xt cdot t^2 - 12 = x(t^2 - 1)2t das equações acima. Primeiro, isolamos z = xt cdot t^2 + 12 = x(t^2 + 1)2t em termos de e :
Substituindo nas equações de e :

Passo 5

Agora, vamos eliminar o parâmetro yz = x(t^2 - 1)2tx(t^2 + 1)2t = t^2 - 1t^2 + 1 . Observando as equações de y(t^2 + 1) = z(t^2 - 1) Rightarrow yt^2 + y = zt^2 - z Rightarrow t^2(y - z) = -y - z e t^2 = -y - zy - z , podemos dividir uma pela outra:
z = x(-y - zy - z + 1)2 raiz-y - zy - z
Resolvendo para (y + z)x^2 = (y - z)^2 :
Agora, substituímos na equação de :
Após simplificações, chegamos à equação do cone:

Resposta

A equação do cone é dada por:
(y + z)x^2 = (y - z)^2

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(xa+zc)(xa-zc)=(1+yb)(1-yb)
e prove que:
(d) H1 é uma superfície regrada.
Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
c) x^2-4 y^2=4;
Calcule
det A=|cccc 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6 |
Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
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