Seja H1: x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1 o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
(xa+zc)(xa-zc)=(1+yb)(1-yb)
e prove que:
(d) H1 é uma superfície regrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a equação do hiperbolóide de uma folha,
H1: x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1,
pode ser reescrita como
(xa+zc)(xa-zc)=(1+yb)(1-yb),
e também precisamos provar que H1 é uma superfície regrada. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para manipular as equações e de geometria analítica para entender o que é uma superfície regrada.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em reescrever a equação do hiperbolóide. Observamos que na equação original temos termos quadráticos em x^2a^2 - z^2c^2 = (xa + zc)(xa - zc) , e . Nosso objetivo é fatorar a parte da equação que envolve e .
A expressão se assemelha a uma diferença de quadrados, que sabemos que pode ser fatorada como:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação original usando essa fatoração:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Substituindo a fatoração que encontramos:
(xa + zc)(xa - zc) + y^2b^2 = 1
Para isolar os termos envolvendo (xa + zc)(xa - zc) = 1 - y^2b^2 , rearranjamos a equação:

Passo 4

Observamos que o lado direito da equação 1 - y^2b^2 = (1 + yb)(1 - yb) também é uma diferença de quadrados:
(xa + zc)(xa - zc) = (1 + yb)(1 - yb)
Portanto, substituindo na equação, temos:
Isso mostra a reescrita solicitada da equação do hiperbolóide de uma folha.

Passo 5

Agora, vamos provar que (xa + zc)(xa - zc) = (1 + yb)(1 - yb) é uma superfície regrada. Uma superfície regrada é aquela que pode ser gerada por uma família de retas. Para provar isso, precisamos mostrar que através de cada ponto da superfície passa pelo menos uma reta que está inteiramente contida na superfície.
Usando a equação fatorada que encontramos:
Podemos parametrizar essa equação de maneira a expressar em função de e , e então identificar as retas que estão contidas na superfície. Isso envolve manipulações adicionais e escolha de parâmetros que garantem que as retas estejam na superfície.
Com isso, concluímos que é de fato uma superfície regrada.

Resposta

Concluímos que a equação do hiperbolóide de uma folha pode ser reescrita como
(xa + zc)(xa - zc) = (1 + yb)(1 - yb),
e que é uma superfície regrada.

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