Calcule o det(A) nos seguintes casos:
(e) A=[llll1 & 0 & 1 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & 0 3 & 5 & 4 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante da seguinte matriz A = 1 & 0 & 1 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & 0 3 & 5 & 4 & 1 :
Vamos usar o conceito de determinante de matrizes quadradas e aplicar operações de linha para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante é uma medida que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é invertível. Para calcular o determinante de uma matriz , podemos simplificar a matriz usando operações de linha até ela ficar em forma triangular (onde todos abaixo da diagonal principal são zeros). Depois, multiplicamos os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está pronto. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da quarta linha.
Operação:
Linha2 = Linha2 - Linha1
Linha4 = Linha4 - 3 times Linha1

Passo 4

Aplicando as operações:
Nova Linha 2:
1 & 3 & 0 & 0 - 1 & 0 & 1 & 0 = 0 & 3 & -1 & 0
Nova Linha 4:
3 & 5 & 4 & 1 - 3 times 1 & 0 & 1 & 0 = 0 & 5 & 1 & 1
A matriz fica assim:
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & -1 & 0 0 & 1 & 4 & 0 0 & 5 & 1 & 1

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento Linha2 = 13 times Linha2 seja 1 para facilitar. Para isso, dividimos a segunda linha por 3.
Operação:

Passo 6

Aplicando a operação:
Nova Linha 2:
13 times 0 & 3 & -1 & 0 = 0 & 1 & -13 & 0
A matriz agora é:
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & 0 0 & 1 & 4 & 0 0 & 5 & 1 & 1

Passo 7

Vamos eliminar os elementos abaixo do Linha3 = Linha3 - Linha2 na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira e subtraímos 5 vezes a segunda linha da quarta linha.
Operações:
Linha4 = Linha4 - 5 times Linha2

Passo 8

Aplicando as operações:
Nova Linha 3:
0 & 1 & 4 & 0 - 0 & 1 & -13 & 0 = 0 & 0 & 133 & 0
Nova Linha 4:
0 & 5 & 1 & 1 - 5 times 0 & 1 & -13 & 0 = 0 & 0 & 83 & 1
A matriz fica assim:
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & 0 0 & 0 & 133 & 0 0 & 0 & 83 & 1

Passo 9

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o elemento Linha3 = 313 times Linha3 seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por .
Operação:

Passo 10

Aplicando a operação:
Nova Linha 3:
313 times 0 & 0 & 133 & 0 = 0 & 0 & 1 & 0
A matriz agora é:
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 83 & 1

Passo 11

Vamos eliminar o elemento abaixo do Linha4 = Linha4 - 83 times Linha3 na terceira coluna. Para isso, subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha.
Operação:

Passo 12

Aplicando a operação:
Nova Linha 4:
0 & 0 & 83 & 1 - 83 times 0 & 0 & 1 & 0 = 0 & 0 & 0 & 1
A matriz final fica:
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 13

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
det(A) = 1 times 1 times 1 times 1 = 1

Resposta

O determinante de é .

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