Calcule o nos seguintes casos:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante da seguinte matriz :
Vamos usar o conceito de determinante de matrizes quadradas e aplicar operações de linha para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante é uma medida que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é invertível. Para calcular o determinante de uma matriz , podemos simplificar a matriz usando operações de linha até ela ficar em forma triangular (onde todos abaixo da diagonal principal são zeros). Depois, multiplicamos os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está pronto. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da quarta linha.
Operação:

Passo 4

Aplicando as operações:
Nova Linha 2:
Nova Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento seja 1 para facilitar. Para isso, dividimos a segunda linha por 3.
Operação:

Passo 6

Aplicando a operação:
Nova Linha 2:
A matriz agora é:

Passo 7

Vamos eliminar os elementos abaixo do na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira e subtraímos 5 vezes a segunda linha da quarta linha.
Operações:

Passo 8

Aplicando as operações:
Nova Linha 3:
Nova Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 9

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o elemento seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por .
Operação:

Passo 10

Aplicando a operação:
Nova Linha 3:
A matriz agora é:

Passo 11

Vamos eliminar o elemento abaixo do na terceira coluna. Para isso, subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha.
Operação:

Passo 12

Aplicando a operação:
Nova Linha 4:
A matriz final fica:

Passo 13

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Resposta

O determinante de é .

Exercícios relacionados

Seja uma base de . Dados os vetores e , justifique por que não pode ser escrito como combinação linear de e .
Ex. 2. Simplifique:
(l) ;
Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao eixo polar.
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(b) ;