Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(b) (a x+b y)^2+(a y-b x)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2);

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a identidade está correta. Para isso, vamos expandir cada lado da equação usando propriedades da álgebra, como o quadrado de uma soma e a distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (a x + b y)^2 = (a x)^2 + 2 cdot a x cdot b y + (b y)^2 = a^2 x^2 + 2 a b x y + b^2 y^2 . Lembra que . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos expandir (a y - b x)^2 = (a y)^2 - 2 cdot a y cdot b x + (b x)^2 = a^2 y^2 - 2 a b x y + b^2 x^2 . Usamos a mesma regra, lembrando que :

Passo 4

Vamos somar as duas expansões que fizemos:
(a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 = (a^2 x^2 + 2 a b x y + b^2 y^2) + (a^2 y^2 - 2 a b x y + b^2 x^2)
Observa que os termos = a^2 x^2 + b^2 y^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 e = a^2 (x^2 + y^2) + b^2 (x^2 + y^2) = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) se cancelam:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A identidade está verificada, pois .

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