Seja uma base de V^3. Dados os vetores u=4 e1+e2-3 e3, v=3 e2+e3 e w=2 e2+3 e3, justifique por que v não pode ser escrito como combinação linear de u e w.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores u, v e w em um espaço tridimensional V^3 com uma base formada por e1, e2 e e3. A nossa missão é mostrar por que o vetor v não consegue ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e w. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever v como uma combinação linear de u e w. Isso quer dizer que existem escalares a e b tais que:
v = a,u + b,w
Vamos substituir os vetores dados nessa equação:
3e2 + e3 = a,(4e1 + e2 - 3e3) + b,(2e2 + 3e3)
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
3e2 + e3 = (4a)e1 + (a + 2b)e2 + (-3a + 3b)e3
Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes de e1, e2 e e3 devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Para e1: 4a = 0
Para e2: a + 2b = 3
Para e3: -3a + 3b = 1
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
4a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na segunda equação:
0 + 2b = 3 Rightarrow 2b = 3 Rightarrow b = 32
Agora, substituindo a = 0 e b = 32 na terceira equação:
Como o sistema de equações resultou em uma contradição, concluímos que não existem valores de a e b que satisfaçam a igualdade. Portanto, o vetor v não pode ser escrito como combinação linear dos vetores u e w.