Seja uma base de . Dados os vetores e , justifique por que não pode ser escrito como combinação linear de e .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores , e em um espaço tridimensional com uma base formada por e . A nossa missão é mostrar por que o vetor não consegue ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever como uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Vamos substituir os vetores dados nessa equação:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes de , e devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso é uma contradição, já que .

Resposta

Como o sistema de equações resultou em uma contradição, concluímos que não existem valores de e que satisfaçam a igualdade. Portanto, o vetor não pode ser escrito como combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados

Ex. 2. Simplifique:
(l) ;
Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto e que passa pelo ponto .
Calcule o nos seguintes casos:
(e)
Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao eixo polar.