Seja uma base de . Dados os vetores e , justifique por que não pode ser escrito como combinação linear de e .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores , e em um espaço tridimensional com uma base formada por e . A nossa missão é mostrar por que o vetor não consegue ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever como uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Vamos substituir os vetores dados nessa equação:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes de , e devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso é uma contradição, já que .
Resposta
Como o sistema de equações resultou em uma contradição, concluímos que não existem valores de e que satisfaçam a igualdade. Portanto, o vetor não pode ser escrito como combinação linear dos vetores e .