Beleza, pessoal! Vamos calcular o determinante dessa matriz de 5x5 que o exercício pediu. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos usar operações elementares para simplificar a matriz até que seja mais fácil calcular o determinante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz não muda se a gente trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha. Vamos usar essas operações para deixar a matriz mais simples.
Passo 3
Vamos começar trocando a primeira linha com a segunda linha. Isso facilita porque a nova primeira linha terá um 1 no começo, o que é mais fácil de trabalhar.
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
Subtraímos 9 vezes a primeira linha da terceira linha.
Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
Adicionamos 2 vezes a primeira linha à quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2) e zeros abaixo dele. Já temos um 1 na segunda linha, segunda coluna, então vamos usar isso para zerar os outros elementos na segunda coluna.
Para a terceira linha: adicionar vezes a segunda linha à terceira linha.
Para a quarta linha: adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha.
Para a quinta linha: subtrair 8 vezes a segunda linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz fica assim:
Passo 6
Vamos continuar simplificando. Agora, focamos na terceira coluna. Queremos um -35 na posição (3,3) e zeros abaixo dele.
Já temos -35 na terceira linha, terceira coluna.
Para a quarta linha: adicionar vezes a terceira linha à quarta linha.
Para a quinta linha: adicionar vezes a terceira linha à quinta linha.
Mas para facilitar os cálculos, vamos apenas zerar os elementos abaixo de -35.
Primeiro, vamos multiplicar a terceira linha por para ter 1 na posição (3,3):
Agora, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
Para a quarta linha: subtrair 5 vezes a terceira linha da quarta linha.
Para a quinta linha: subtrair vezes a terceira linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz agora fica:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a quarta coluna. Queremos ter um na posição (4,4) e zerar abaixo dele.
Primeiro, vamos multiplicar a quarta linha por para ter 1 na posição (4,4):
A matriz fica:
Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,4). Para isso, subtraímos vezes a quarta linha da quinta linha:
A matriz fica assim:
Passo 9
Agora, a matriz está na forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal: