Beleza, pessoal! Vamos calcular o determinante dessa matriz de 5x5 que o exercício pediu. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos usar operações elementares para simplificar a matriz até que seja mais fácil calcular o determinante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz não muda se a gente trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha. Vamos usar essas operações para deixar a matriz mais simples.
Passo 3
Vamos começar trocando a primeira linha com a segunda linha. Isso facilita porque a nova primeira linha terá um 1 no começo, o que é mais fácil de trabalhar.
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2) e zeros abaixo dele. Já temos um 1 na segunda linha, segunda coluna, então vamos usar isso para zerar os outros elementos na segunda coluna.
Para a terceira linha: adicionar 0 + 352(0) = 0, -352 + 352(1) = 0, 0 + 352(-2) = -35, 36 + 352(0) = 36, -112 + 352(1) = 12 vezes a segunda linha à terceira linha.
Para a quarta linha: adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha.
Para a quinta linha: subtrair 8 vezes a segunda linha da quinta linha.
Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,4). Para isso, subtraímos vezes a quarta linha da quinta linha:
A matriz fica assim:
Passo 9
Agora, a matriz está na forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
det = 1 times 1 times 1 times 1 times (-433934970) = -433934970