Calcule o determinante de cada matriz abaixo
a.

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos calcular o determinante dessa matriz de 5x5 que o exercício pediu. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos usar operações elementares para simplificar a matriz até que seja mais fácil calcular o determinante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz não muda se a gente trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha. Vamos usar essas operações para deixar a matriz mais simples.

Passo 3

Vamos começar trocando a primeira linha com a segunda linha. Isso facilita porque a nova primeira linha terá um 1 no começo, o que é mais fácil de trabalhar.

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 9 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2) e zeros abaixo dele. Já temos um 1 na segunda linha, segunda coluna, então vamos usar isso para zerar os outros elementos na segunda coluna.
  • Para a terceira linha: adicionar vezes a segunda linha à terceira linha.
  • Para a quarta linha: adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha.
  • Para a quinta linha: subtrair 8 vezes a segunda linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz fica assim:

Passo 6

Vamos continuar simplificando. Agora, focamos na terceira coluna. Queremos um -35 na posição (3,3) e zeros abaixo dele.
  • Já temos -35 na terceira linha, terceira coluna.
  • Para a quarta linha: adicionar vezes a terceira linha à quarta linha.
  • Para a quinta linha: adicionar vezes a terceira linha à quinta linha.
Mas para facilitar os cálculos, vamos apenas zerar os elementos abaixo de -35.
Primeiro, vamos multiplicar a terceira linha por para ter 1 na posição (3,3):
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Para a quarta linha: subtrair 5 vezes a terceira linha da quarta linha.
  • Para a quinta linha: subtrair vezes a terceira linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Quarta linha:
Quinta linha:
A matriz agora fica:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a quarta coluna. Queremos ter um na posição (4,4) e zerar abaixo dele.
Primeiro, vamos multiplicar a quarta linha por para ter 1 na posição (4,4):
A matriz fica:
Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,4). Para isso, subtraímos vezes a quarta linha da quinta linha:
A matriz fica assim:

Passo 9

Agora, a matriz está na forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
d. Somente e .
Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de equações em incógnitas é um subespaço de .
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( ) não é um subespaço vetorial de .
( ) A afirmação
( ) Se , então as soluções do sistema não formam um subespaço do Rn.
Calcule o determinante de cada matriz abaixo
b.
Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
g) . com as operações usuais.