Calcule o determinante de cada matriz abaixo
a. (ccccc0 & 1 & -2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 & -4 & 1 / 2 9 & 1 / 2 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 9 & 1 & 0 -2 & 4 & -1 / 2 & 9 & 0)

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos calcular o determinante dessa matriz de 5x5 que o exercício pediu. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos usar operações elementares para simplificar a matriz até que seja mais fácil calcular o determinante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz não muda se a gente trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha. Vamos usar essas operações para deixar a matriz mais simples.

Passo 3

Vamos começar trocando a primeira linha com a segunda linha. Isso facilita porque a nova primeira linha terá um 1 no começo, o que é mais fácil de trabalhar.
1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 9 & 12 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 9 & 1 & 0 -2 & 4 & -12 & 9 & 0

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 9 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
9 - 9(1) = 0, 12 - 9(2) = 12 - 18 = -352, 0 - 9(0) = 0, 0 - 9(-4) = 36, -1 - 9(12) = -1 - 92 = -112
Quarta linha:
1 - 1(1) = 0, 0 - 1(2) = -2, 9 - 1(0) = 9, 1 - 1(-4) = 5, 0 - 1(12) = -12
Quinta linha:
-2 + 2(1) = 0, 4 + 2(2) = 8, -12 + 2(0) = -12, 9 + 2(-4) = 1, 0 + 2(12) = 1
A matriz fica assim:
1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & -352 & 0 & 36 & -112 0 & -2 & 9 & 5 & -12 0 & 8 & -12 & 1 & 1

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2) e zeros abaixo dele. Já temos um 1 na segunda linha, segunda coluna, então vamos usar isso para zerar os outros elementos na segunda coluna.
  • Para a terceira linha: adicionar 0 + 352(0) = 0, -352 + 352(1) = 0, 0 + 352(-2) = -35, 36 + 352(0) = 36, -112 + 352(1) = 12 vezes a segunda linha à terceira linha.
  • Para a quarta linha: adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha.
  • Para a quinta linha: subtrair 8 vezes a segunda linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Terceira linha:
0 + 2(0) = 0, -2 + 2(1) = 0, 9 + 2(-2) = 5, 5 + 2(0) = 5, -12 + 2(1) = 32
Quarta linha:
0 - 8(0) = 0, 8 - 8(1) = 0, -12 - 8(-2) = -12 + 16 = 312, 1 - 8(0) = 1, 1 - 8(1) = -7
Quinta linha:
1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & -35 & 36 & 12 0 & 0 & 5 & 5 & 32 0 & 0 & 312 & 1 & -7
A matriz fica assim:

Passo 6

Vamos continuar simplificando. Agora, focamos na terceira coluna. Queremos um -35 na posição (3,3) e zeros abaixo dele.
  • Já temos -35 na terceira linha, terceira coluna.
  • Para a quarta linha: adicionar 0, 0, 1, -3635, -1235 vezes a terceira linha à quarta linha.
  • Para a quinta linha: adicionar 1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -3635 & -1235 0 & 0 & 5 & 5 & 32 0 & 0 & 312 & 1 & -7 vezes a terceira linha à quinta linha.
Mas para facilitar os cálculos, vamos apenas zerar os elementos abaixo de -35.
Primeiro, vamos multiplicar a terceira linha por para ter 1 na posição (3,3):
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Para a quarta linha: subtrair 5 vezes a terceira linha da quarta linha.
  • Para a quinta linha: subtrair 0 - 5(0) = 0, 0 - 5(0) = 0, 5 - 5(1) = 0, 5 - 5(-3635) = 5 + 18035 = 35535 = 717, 32 - 5(-1235) = 32 + 6035 = 10570 + 12070 = 22570 = 4514 vezes a terceira linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Quarta linha:
0 - 312(0) = 0, 0 - 312(0) = 0, 312 - 312(1) = 0, 1 - 312(-3635) = 1 + 111670 = 7070 + 111670 = 118670 = 59335, -7 - 312(-1235) = -7 + 37270 = -49070 + 37270 = -11870 = -5935
Quinta linha:
1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -3635 & -1235 0 & 0 & 0 & 717 & 4514 0 & 0 & 0 & 59335 & -5935
A matriz agora fica:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a quarta coluna. Queremos ter um 0, 0, 0, 1, 4514 times 771 = 315994 = 45142 na posição (4,4) e zerar abaixo dele.
Primeiro, vamos multiplicar a quarta linha por 1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -3635 & -1235 0 & 0 & 0 & 1 & 45142 0 & 0 & 0 & 59335 & -5935 para ter 1 na posição (4,4):
0 - 59335(0) = 0, 0 - 59335(0) = 0, 0 - 59335(0) = 0, 59335 - 59335(1) = 0, -5935 - 59335(45142) = -5935 - 266854970 = -59 times 1424970 - 266854970 = -16718 + 266854970 = -433934970
A matriz fica:
1 & 2 & 0 & -4 & 12 0 & 1 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -3635 & -1235 0 & 0 & 0 & 1 & 45142 0 & 0 & 0 & 0 & -433934970
Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,4). Para isso, subtraímos vezes a quarta linha da quinta linha:
A matriz fica assim:

Passo 9

Agora, a matriz está na forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para calcular o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
det = 1 times 1 times 1 times 1 times (-433934970) = -433934970

Resposta

O determinante da matriz é .

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