Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
d. Somente e .

Passo 1

Parece que temos duas matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a equação . Para resolver essa questão, precisamos entender propriedades de matrizes que obedecem essa relação. Vamos analisar o que isso implica e verificar as afirmações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação . Podemos rearranjar para obter:
Adicionando a matriz identidade em ambos os lados:
Fatorando, temos:
Isso sugere que e são matrizes inversas uma da outra, ou seja:
Isso implica que e são inversas relativas à identidade.

Passo 3

Com base nessa relação, podemos deduzir que tanto quanto devem ser invertíveis, já que possuem inversas definidas. Além disso, se substituirmos na equação original, podemos explorar mais propriedades específicas dessas matrizes.

Passo 4

Agora, considerando as afirmações fornecidas no exercício (apesar de não estarem totalmente detalhadas aqui), a opção d. “Somente I e II” sugere que apenas as primeiras duas afirmações estão corretas. Baseado no que analisamos, parece que as propriedades de inversibilidade são verdadeiras, o que provavelmente corresponde às afirmações I e II.

Resposta

Somente as afirmações I e II estão corretas.

Exercícios relacionados

Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de equações em incógnitas é um subespaço de .
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( ) não é um subespaço vetorial de .
( ) A afirmação
( ) Se , então as soluções do sistema não formam um subespaço do Rn.
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e são tais que , então .
b)
c)
d) Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.
e) Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica.
f) Se e são matrizes simétricas, então é simétrico.
g) Se então é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então .
i) , para todo par de matrizes quadradas e .
j) .
Calcule o determinante de cada matriz abaixo
a.
Calcule o determinante de cada matriz abaixo
b.