Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente
de
equações em
incógnitas é um subespaço de
.
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
é um espaço vetorial de
.
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
é um espaço vetorial de
.
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( )
não é um subespaço vetorial de
.
( ) A afirmação
( ) Se
, então as soluções do sistema
não formam um subespaço do Rn.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( )
( ) A afirmação
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre espaços vetoriais. A gente precisa decidir se cada uma das afirmações listadas é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. Para isso, vamos precisar entender bem o que é um espaço vetorial e o que caracteriza um subespaço dentro dele.
Passo 2
Afirmação 1: Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
Explicação: Por definição, um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial dentro desse espaço maior. Isso inclui ser fechado sob adição e multiplicação escalar, e conter o vetor zero.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
Explicação: Um subespaço é, por definição, uma parte de um espaço vetorial que também é um espaço vetorial. Claro, o próprio espaço vetorial sempre satisfaz suas próprias propriedades.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: O conjunto das soluções de um sistema linear consistente
de
equações em
incógnitas é um subespaço de
.
Explicação: Para que o conjunto de soluções seja um subespaço, ele precisa conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar. Porém, se
, o vetor zero não pertence ao conjunto de soluções.
Conclusão: Falsa.
Passo 5
Afirmação 4: A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
é um espaço vetorial de
.
Explicação: A interseção de dois subespaços contém todos os vetores que estão em ambos os subespaços. Como ambos são fechados sob adição e multiplicação escalar, a interseção também mantém essas propriedades.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 6
Afirmação 5: A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial
é um espaço vetorial de
.
Explicação: A união de dois subespaços não necessariamente é fechada sob adição. Por exemplo, se tivermos dois subespaços que não estão contidos um no outro, a soma de vetores de cada um pode não pertencer à união.
Conclusão: Falsa.
Passo 7
Afirmação 6: O plano passando pela origem é subespaço vetorial real.
Explicação: Um plano que passa pela origem satisfaz as condições de conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 8
Afirmação 7: O primeiro quadrante é subespaço vetorial real.
Explicação: O primeiro quadrante inclui apenas vetores com componentes positivas. Se somarmos dois vetores do primeiro quadrante, o resultado também estará no primeiro quadrante, mas se multiplicarmos por um escalar negativo, o vetor resultante sairá do primeiro quadrante.
Conclusão: Falsa.
Passo 9
Afirmação 8:
não é um subespaço vetorial de
.
Explicação:
normalmente se refere ao conjunto dos números reais, que é um espaço vetorial de dimensão 1. Em
, um subespaço deveria ser uma linha que passa pela origem ou o próprio
.
sozinho não está contido em
da forma que um subespaço exigiria.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 10
Afirmação 9: Se
, então as soluções do sistema
não formam um subespaço de
.
Explicação: Quando
, o conjunto de soluções não contém o vetor zero, uma das condições necessárias para ser um subespaço.
Conclusão: Verdadeira.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
Exercícios relacionados
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e
são tais que
, então
.
b)
c)
d) Se e
são matrizes simétricas, então
é simétrica.
e) Se e
são matrizes anti-simétricas, então
é anti-simétrica.
f) Se e
são matrizes simétricas, então
é simétrico.
g) Se então
é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então
.
i) , para todo par de matrizes quadradas
e
.
j) .
a) Se
b)
c)
d) Se
e) Se
f) Se
g) Se
h) Se
i)
j)
Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se
é uma matriz ortogonal e
é um escalar não nulo, então
também é ortogonal.
Sejam
e
matrizes
que satisfazem o seguinte:
. Considere as seguintes afirmações:
d. Somente e
.
d. Somente
Calcule o determinante de cada matriz abaixo
a.
a.