Determine se afirmação é verdadeira ou falsa justificando a resposta.
( ) Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
( ) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
( ) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de equações em incógnitas é um subespaço de .
( ) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
( ) O plano passando pela a origem é subespaço vetorial real;
( ) O primeiro quadrante é subespaço vetorial real;
( ) não é um subespaço vetorial de .
( ) A afirmação
( ) Se , então as soluções do sistema não formam um subespaço do Rn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre espaços vetoriais. A gente precisa decidir se cada uma das afirmações listadas é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. Para isso, vamos precisar entender bem o que é um espaço vetorial e o que caracteriza um subespaço dentro dele.

Passo 2

Afirmação 1: Cada subespaço de um espaço vetorial é ele mesmo, um espaço vetorial.
Explicação: Por definição, um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial dentro desse espaço maior. Isso inclui ser fechado sob adição e multiplicação escalar, e conter o vetor zero.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo.
Explicação: Um subespaço é, por definição, uma parte de um espaço vetorial que também é um espaço vetorial. Claro, o próprio espaço vetorial sempre satisfaz suas próprias propriedades.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: O conjunto das soluções de um sistema linear consistente de equações em incógnitas é um subespaço de .
Explicação: Para que o conjunto de soluções seja um subespaço, ele precisa conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar. Porém, se , o vetor zero não pertence ao conjunto de soluções.
Conclusão: Falsa.

Passo 5

Afirmação 4: A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
Explicação: A interseção de dois subespaços contém todos os vetores que estão em ambos os subespaços. Como ambos são fechados sob adição e multiplicação escalar, a interseção também mantém essas propriedades.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial é um espaço vetorial de .
Explicação: A união de dois subespaços não necessariamente é fechada sob adição. Por exemplo, se tivermos dois subespaços que não estão contidos um no outro, a soma de vetores de cada um pode não pertencer à união.
Conclusão: Falsa.

Passo 7

Afirmação 6: O plano passando pela origem é subespaço vetorial real.
Explicação: Um plano que passa pela origem satisfaz as condições de conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 8

Afirmação 7: O primeiro quadrante é subespaço vetorial real.
Explicação: O primeiro quadrante inclui apenas vetores com componentes positivas. Se somarmos dois vetores do primeiro quadrante, o resultado também estará no primeiro quadrante, mas se multiplicarmos por um escalar negativo, o vetor resultante sairá do primeiro quadrante.
Conclusão: Falsa.

Passo 9

Afirmação 8: não é um subespaço vetorial de .
Explicação: normalmente se refere ao conjunto dos números reais, que é um espaço vetorial de dimensão 1. Em , um subespaço deveria ser uma linha que passa pela origem ou o próprio . sozinho não está contido em da forma que um subespaço exigiria.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 10

Afirmação 9: Se , então as soluções do sistema não formam um subespaço de .
Explicação: Quando , o conjunto de soluções não contém o vetor zero, uma das condições necessárias para ser um subespaço.
Conclusão: Verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Falsa
  4. Verdadeira
  5. Falsa
  6. Verdadeira
  7. Falsa
  8. Verdadeira
  9. Verdadeira

Exercícios relacionados

Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
a) Se e são tais que , então .
b)
c)
d) Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.
e) Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica.
f) Se e são matrizes simétricas, então é simétrico.
g) Se então é a matriz nula.
h) Se é uma matriz invertível, então .
i) , para todo par de matrizes quadradas e .
j) .
Determine, justificando, se é verdadeiro ou falso que, se é uma matriz ortogonal e é um escalar não nulo, então também é ortogonal.
Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
d. Somente e .
Calcule o determinante de cada matriz abaixo
a.