Calcule o determinante de cada matriz abaixo, usando o desenvolvimento por linhas (desenvolvimento de Laplace):
c) N=[cccc3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz N = 3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3 usando o desenvolvimento por linhas, também conhecido como desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é:
Vamos precisar entender como expandir o determinante por uma linha específica, escolhendo uma que facilite nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, escolhemos a linha que tem mais zeros para simplificar a conta. Olhando para a matriz 0 & 0 & 4 & 0 , a terceira linha tem dois zeros:
Isso vai facilitar nosso trabalho porque menos termos precisarão ser calculados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do desenvolvimento de Laplace na terceira linha. A fórmula geral para o determinante usando a linha det(N) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij) é:
det(N) = (-1)^3+1 cdot 0 cdot det(M31) + (-1)^3+2 cdot 0 cdot det(M32) + (-1)^3+3 cdot 4 cdot det(M33) + (-1)^3+4 cdot 0 cdot det(M34)
Onde:
  • é o elemento da matriz na posição .
  • é a matriz menor, que é a matriz resultante de remover a linha e a coluna .
Como estamos usando a terceira linha ( ):
Note que todos os termos com vão desaparecer, restando apenas o terceiro termo.

Passo 4

Vamos calcular o único termo que sobra:
(-1)^6 cdot 4 cdot det(M33)
Simplificando os sinais:
1 cdot 4 cdot det(M33)
Agora, precisamos encontrar a matriz M33 = 3 & 4 & 1 5 & 0 & -2 -1 & 0 & 3 , que é a matriz menor após remover a terceira linha e a terceira coluna:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz det(M33) = 3(0 cdot 3 - (-2) cdot 0) - 4(5 cdot 3 - (-2) cdot (-1)) + 1(5 cdot 0 - 0 cdot (-1)) . Como é uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
= 3(0 - 0) - 4(15 - 2) + 1(0 - 0)
= 0 - 4(13) + 0
= -52

Passo 6

Agora que temos det(N) = 4 cdot (-52) = -208 , substituímos de volta na expressão do determinante de :

Resposta

O determinante da matriz é .

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