Use o produto misto para demonstrar que se duas linhas quaisquer de um determinante de terceira ordem são iguais, então o valor desse determinante é zero.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o produto misto para mostrar que se duas linhas de um determinante de terceira ordem forem iguais, o valor desse determinante é zero. Isso envolve entender determinantes de matrizes 3x3 e como o produto misto (ou produto escalar triplo) funciona para vetores no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante de terceira ordem. É como uma função que pega uma matriz 3x3 e retorna um número, que pode nos dizer coisas como se os vetores das linhas são independentes. Se duas linhas forem iguais, queremos mostrar que o determinante será zero.
Passo 3
Agora, o produto misto de três vetores a, b e c é definido como:
Esse produto misto também é igual ao determinante da matriz que tem a, b e c como suas linhas. Então, podemos escrever:
Passo 4
Se duas linhas da matriz são iguais, por exemplo, a = b, então temos:
Mas sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é o vetor nulo:
Passo 5
Então, substituindo de volta na expressão do determinante:
Isso mostra que, se duas linhas são iguais, o determinante é zero.