Use o produto misto para demonstrar que se duas linhas quaisquer de um determinante de terceira ordem são iguais, então o valor desse determinante é zero.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o produto misto para mostrar que se duas linhas de um determinante de terceira ordem forem iguais, o valor desse determinante é zero. Isso envolve entender determinantes de matrizes 3x3 e como o produto misto (ou produto escalar triplo) funciona para vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante de terceira ordem. É como uma função que pega uma matriz 3x3 e retorna um número, que pode nos dizer coisas como se os vetores das linhas são independentes. Se duas linhas forem iguais, queremos mostrar que o determinante será zero.

Passo 3

Agora, o produto misto de três vetores a, b e c é definido como:
a cdot (b times c)
Esse produto misto também é igual ao determinante da matriz que tem a, b e c como suas linhas. Então, podemos escrever:
det(A) = a cdot (b times c)

Passo 4

Se duas linhas da matriz são iguais, por exemplo, a = b, então temos:
det(A) = a cdot (a times c)
Mas sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é o vetor nulo:
a times c = 0

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = a cdot 0 = 0
Isso mostra que, se duas linhas são iguais, o determinante é zero.

Resposta

O valor do determinante é zero.

Exercícios relacionados

Verifique se os pontos A=(3,1,2), B=(2,3,2), C=(2,3,4) e D=(4,5,6) são coplanares.
Calcule os produtos a cdot b, b cdot c, a times b, a times c,[a, b, c],(a times b) times(a times c) e(a times b). (a times c) quando a=2 imath+jmath-2 widehatk, b=2 imath-jmath+3 k e b=imath+2 jmath-k.
Calcule o determinante de cada matriz abaixo, usando o desenvolvimento por linhas (desenvolvimento de Laplace):
c) N=[cccc3 & 4 & 2 & 1 5 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 4 & 0 -1 & 0 & 3 & 3]
Determine a equação da reta no plano que é perpendicular ao vetor n=(1,2) e passa pelo ponto P=(7,3).