Use o produto misto para demonstrar que se duas linhas quaisquer de um determinante de terceira ordem são iguais, então o valor desse determinante é zero.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o produto misto para mostrar que se duas linhas de um determinante de terceira ordem forem iguais, o valor desse determinante é zero. Isso envolve entender determinantes de matrizes 3x3 e como o produto misto (ou produto escalar triplo) funciona para vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante de terceira ordem. É como uma função que pega uma matriz 3x3 e retorna um número, que pode nos dizer coisas como se os vetores das linhas são independentes. Se duas linhas forem iguais, queremos mostrar que o determinante será zero.

Passo 3

Agora, o produto misto de três vetores a, b e c é definido como:
a cdot (b times c)
Esse produto misto também é igual ao determinante da matriz que tem a, b e c como suas linhas. Então, podemos escrever:
det(A) = a cdot (b times c)

Passo 4

Se duas linhas da matriz são iguais, por exemplo, a = b, então temos:
det(A) = a cdot (a times c)
Mas sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é o vetor nulo:
a times c = 0

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = a cdot 0 = 0
Isso mostra que, se duas linhas são iguais, o determinante é zero.

Resposta

O valor do determinante é zero.

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