Verifique se os pontos A=(3,1,2), B=(2,3,2), C=(2,3,4) e D=(4,5,6) são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os pontos , , e são coplanares. Isso está relacionado à geometria no espaço tridimensional, mais especificamente à ideia de que quatro pontos estão no mesmo plano. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores e usar o produto misto, que nos ajuda a determinar se os pontos estão todos no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos são coplanares. Basicamente, isso quer dizer que todos os quatro pontos estão na mesma superfície plana. Para verificar isso, podemos usar o conceito de vetores e calcular o produto misto entre eles. Se o resultado desse produto for zero, então os pontos são coplanares.

Passo 3

Vamos começar criando vetores que partem de um ponto comum. Vamos escolher o ponto AB = B - A = (2-3, 3-1, 2-2) = (-1, 2, 0) como referência e construir os vetores AC = C - A = (2-3, 3-1, 4-2) = (-1, 2, 2) , AD = D - A = (4-3, 5-1, 6-2) = (1, 4, 4) e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. O produto misto é uma maneira de verificar se três vetores são coplanares. Se o produto misto for igual a zero, significa que os vetores estão no mesmo plano, e, consequentemente, os quatro pontos dados também estão no mesmo plano.
A fórmula do produto misto é:
AB cdot (AC times AD)
Onde representa o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AC times AD = i & j & k -1 & 2 & 2 1 & 4 & 4 = i(2 cdot 4 - 2 cdot 4) - j(-1 cdot 4 - 2 cdot 1) + k(-1 cdot 4 - 2 cdot 1) primeiro:
= i(8 - 8) - j(-4 - 2) + k(-4 - 2) = 0i + 6j - 6k = (0, 6, -6)
AB cdot (0, 6, -6) = (-1) cdot 0 + 2 cdot 6 + 0 cdot (-6) = 0 + 12 + 0 = 12
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

Como o produto misto resultou em 12, que é diferente de zero, concluímos que os pontos , , e não são coplanares.

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