Utilize o produto misto para mostrar que: llbracket ccc x a1 & x a2 & x a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]=x llbracket[lll a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rceil

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o produto misto, que está ligado ao cálculo de determinantes e geometria vetorial. O enunciado pede para mostrar que, se você multiplicar cada elemento de uma linha de um determinante por um número , o determinante todo também é multiplicado por . Para isso, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como eles reagem a multiplicações em suas linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz 3x3 como a que temos aqui:
ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3
O determinante é uma forma de calcular um número que nos dá informações importantes, como o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores das linhas. Agora, uma propriedade fundamental dos determinantes é que se você multiplicar todos os elementos de uma linha por um número , o determinante inteiro é multiplicado por .

Passo 3

No nosso exercício, a primeira linha da matriz está sendo multiplicada por ccc x a1 & x a2 & x a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 . Então, temos:
llbracket ccc x a1 & x a2 & x a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket = x cdot llbracket ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket
De acordo com a propriedade dos determinantes que mencionamos, ao multiplicar a primeira linha por , o determinante inteiro será multiplicado por . Ou seja:

Passo 4

Vamos ver isso na prática. Suponha que o determinante original D = llbracket ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket seja:
D' = llbracket ccc x a1 & x a2 & x a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket
Multiplicando a primeira linha por D' = x cdot D , obtemos um novo determinante :
Pela propriedade que usamos, sabemos que:

Resposta

Assim, mostramos que:
llbracket ccc x a1 & x a2 & x a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket = x cdot llbracket ccc a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 rrbracket

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