Calcule o determinante de cada matriz abaixo, usando o desenvolvimento por linhas (desenvolvimento de Laplace):
b) P=[llll2 & 4 & 2 & 4 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 3 3 & 0 & 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando o desenvolvimento por linhas, também conhecido como desenvolvimento de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão por uma linha ou coluna e como calcular cofatores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, olhe para a matriz P = 2 & 4 & 2 & 4 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 3 3 & 0 & 1 & 0 :
Vamos escolher uma linha que facilite os cálculos. Observando, a segunda linha tem dois zeros, o que simplifica a expansão, pois termos multiplicados por zero não influenciam o determinante.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela segunda linha. A fórmula do desenvolvimento de Laplace para uma linha é:
det(P) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij)
Onde é a linha escolhida (nossa aqui é 2), percorre as colunas, é o elemento da matriz na posição e é a matriz resultante de remover a linha e a coluna .

Passo 4

Aplicando na segunda linha, temos:
det(P) = (-1)^2+1 cdot 0 cdot det(M21) + (-1)^2+2 cdot 1 cdot det(M22) + (-1)^2+3 cdot 1 cdot det(M23) + (-1)^2+4 cdot 0 cdot det(M24)
Simplificando, os termos com 0 desaparecem:
det(P) = 1 cdot det(M22) - 1 cdot det(M23)

Passo 5

Agora, vamos calcular M22 = 2 & 2 & 4 1 & 2 & 3 3 & 1 & 0 e M23 = 2 & 4 & 4 1 & 0 & 3 3 & 0 & 0 .
Matriz (removendo linha 2 e coluna 2):
Matriz (removendo linha 2 e coluna 3):

Passo 6

Vamos calcular det(M22) = 2 cdot 2 & 3 1 & 0 - 2 cdot 1 & 3 3 & 0 + 4 cdot 1 & 2 3 & 1 :
2 & 3 1 & 0 = (2)(0) - (3)(1) = -3
Calculando os determinantes menores:
1 & 3 3 & 0 = (1)(0) - (3)(3) = -9
1 & 2 3 & 1 = (1)(1) - (2)(3) = 1 - 6 = -5
det(M22) = 2(-3) - 2(-9) + 4(-5) = -6 + 18 - 20 = -8
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos calcular det(M23) = 2 cdot 0 & 3 0 & 0 - 4 cdot 1 & 3 3 & 0 + 4 cdot 1 & 0 3 & 0 :
0 & 3 0 & 0 = (0)(0) - (3)(0) = 0
Calculando os determinantes menores:
1 & 3 3 & 0 = (1)(0) - (3)(3) = -9
1 & 0 3 & 0 = (1)(0) - (0)(3) = 0
det(M23) = 2(0) - 4(-9) + 4(0) = 0 + 36 + 0 = 36
Substituindo:

Passo 8

Voltando à expressão original:
det(P) = 1 cdot (-8) - 1 cdot 36 = -8 - 36 = -44

Resposta

O determinante da matriz é .

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