Calcule o determinante de cada matriz abaixo, usando o desenvolvimento por linhas (desenvolvimento de Laplace):
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando o desenvolvimento por linhas, também conhecido como desenvolvimento de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão por uma linha ou coluna e como calcular cofatores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, olhe para a matriz :
Vamos escolher uma linha que facilite os cálculos. Observando, a segunda linha tem dois zeros, o que simplifica a expansão, pois termos multiplicados por zero não influenciam o determinante.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela segunda linha. A fórmula do desenvolvimento de Laplace para uma linha é:
Onde é a linha escolhida (nossa aqui é 2), percorre as colunas, é o elemento da matriz na posição e é a matriz resultante de remover a linha e a coluna .

Passo 4

Aplicando na segunda linha, temos:
Simplificando, os termos com 0 desaparecem:

Passo 5

Agora, vamos calcular e .
Matriz (removendo linha 2 e coluna 2):
Matriz (removendo linha 2 e coluna 3):

Passo 6

Vamos calcular :
Calculando os determinantes menores:
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Calculando os determinantes menores:
Substituindo:

Passo 8

Voltando à expressão original:

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Encontre vetores e no espaço tais que
Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
©
Sabendo que e . Calcullar:
Calcule cada um dos determinantes a seguir, com o auxílio das propriedades, explicitando a propriedade utilizada:
b)