Encontre vetores e no espaço tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos três vetores no espaço, chamados de , e , de tal forma que a operação de produto vetorial entre eles não seja associativa. Ou seja, queremos que:
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o produto vetorial e verificar se ele é associativo ou não. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, e , no espaço tridimensional, resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
onde , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos verificar a associatividade do produto vetorial. Em matemática, uma operação é associativa se a maneira como os elementos são agrupados não altera o resultado. Para o produto vetorial, queremos saber se:
Se essa igualdade não for verdadeira para certos vetores, então o produto vetorial não é associativo.

Passo 4

Vamos escolher vetores específicos para testar essa propriedade. Vamos definir:
Esses são os vetores unitários ao longo dos eixos , e , respectivamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Agora, cruzando com :

Passo 6

Agora, calculamos :
E cruzando com :

Passo 7

Observamos que:
Isso mostra que, para esses vetores específicos, o produto vetorial é associativo. Porém, queríamos encontrar vetores onde isso não ocorre.

Passo 8

Vamos escolher outros vetores para tentar. Vamos definir:
Agora, vamos calcular ambas as expressões.

Passo 9

Calculando :
Agora, cruzando com :

Passo 10

Calculando :
Agora, cruzando com :

Passo 11

Agora, comparamos os resultados:
Então, encontramos três vetores onde o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Portanto, os vetores
satisfazem a condição de que

Exercícios relacionados

Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
©
Considere os vetores e . Decomponha como soma de vetores e sendo paralelo a e ortogonal a .
Calcule o determinante de cada matriz abaixo, usando o desenvolvimento por linhas (desenvolvimento de Laplace):
b)
Sabendo que e . Calcullar: