Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos três vetores no espaço, chamados de , e , de tal forma que a operação de produto vetorial entre eles não seja associativa. Ou seja, queremos que:
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o produto vetorial e verificar se ele é associativo ou não. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, e , no espaço tridimensional, resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a associatividade do produto vetorial. Em matemática, uma operação é associativa se a maneira como os elementos são agrupados não altera o resultado. Para o produto vetorial, queremos saber se:
(u times v) times w = u times (v times w)
Se essa igualdade não for verdadeira para certos vetores, então o produto vetorial não é associativo.
Passo 4
Vamos escolher vetores específicos para testar essa propriedade. Vamos definir:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 0 0 1
Esses são os vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos (u times v) times w:
u times v = k = 0 0 1
Agora, cruzando com w:
k times w = 0 0 1 times 0 0 1 = 0 0 0
Passo 6
Agora, calculamos u times (v times w):
v times w = i = 1 0 0
E cruzando com u:
u times i = 1 0 0 times 1 0 0 = 0 0 0
Passo 7
Observamos que:
(u times v) times w = 0 0 0 = u times (v times w)
Isso mostra que, para esses vetores específicos, o produto vetorial é associativo. Porém, queríamos encontrar vetores onde isso não ocorre.
Passo 8
Vamos escolher outros vetores para tentar. Vamos definir:
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
Agora, vamos calcular ambas as expressões.
Passo 9
Calculando (u times v) times w:
u times v = (2)(6)-(3)(5) (3)(4)-(1)(6) (1)(5)-(2)(4) = 12-15 12-6 5-8 = -3 6 -3