Encontre vetores u, v e w no espaço tais que
(u times v) times w neq u times(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos três vetores no espaço, chamados de u, v e w, de tal forma que a operação de produto vetorial entre eles não seja associativa. Ou seja, queremos que:
(u times v) times w neq u times (v times w)
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o produto vetorial e verificar se ele é associativo ou não. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, a e b, no espaço tridimensional, resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos verificar a associatividade do produto vetorial. Em matemática, uma operação é associativa se a maneira como os elementos são agrupados não altera o resultado. Para o produto vetorial, queremos saber se:
(u times v) times w = u times (v times w)
Se essa igualdade não for verdadeira para certos vetores, então o produto vetorial não é associativo.

Passo 4

Vamos escolher vetores específicos para testar essa propriedade. Vamos definir:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 0 0 1
Esses são os vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos (u times v) times w:
u times v = k = 0 0 1
Agora, cruzando com w:
k times w = 0 0 1 times 0 0 1 = 0 0 0

Passo 6

Agora, calculamos u times (v times w):
v times w = i = 1 0 0
E cruzando com u:
u times i = 1 0 0 times 1 0 0 = 0 0 0

Passo 7

Observamos que:
(u times v) times w = 0 0 0 = u times (v times w)
Isso mostra que, para esses vetores específicos, o produto vetorial é associativo. Porém, queríamos encontrar vetores onde isso não ocorre.

Passo 8

Vamos escolher outros vetores para tentar. Vamos definir:
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
Agora, vamos calcular ambas as expressões.

Passo 9

Calculando (u times v) times w:
u times v = (2)(6)-(3)(5) (3)(4)-(1)(6) (1)(5)-(2)(4) = 12-15 12-6 5-8 = -3 6 -3
Agora, cruzando com w:
-3 6 -3 times 7 8 9 = (6)(9)-(-3)(8) (-3)(7)-(-3)(9) (-3)(8)-(6)(7) = 54+24 -21+27 -24-42 = 78 6 -66

Passo 10

Calculando u times (v times w):
v times w = (5)(9)-(6)(8) (6)(7)-(4)(9) (4)(8)-(5)(7) = 45-48 42-36 32-35 = -3 6 -3
Agora, cruzando com u:
1 2 3 times -3 6 -3 = (2)(-3)-(3)(6) (3)(-3)-(1)(-3) (1)(6)-(2)(-3) = -6-18 -9+3 6+6 = -24 -6 12

Passo 11

Agora, comparamos os resultados:
(u times v) times w = 78 6 -66 neq -24 -6 12 = u times (v times w)
Então, encontramos três vetores onde o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Portanto, os vetores
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
satisfazem a condição de que
(u times v) times w neq u times (v times w)

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