Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
© det A^-1=(det A)^-1

Passo 1

Hoje vamos analisar se a afirmação det A^-1 = (det A)^-1 é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz inversa A^-1 existe somente se o determinante de A, det A, for diferente de zero. Isso porque a inversa envolve dividir por det A.

Passo 3

Sabemos que para qualquer matriz A, o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes, ou seja: det(AB) = det A cdot det B.

Passo 4

Aplicando isso à matriz inversa, temos que A cdot A^-1 = I, onde I é a matriz identidade. Então, calculando o determinante de ambos os lados:
det(A cdot A^-1) = det I

Passo 5

Sabemos que det I = 1 e que det(A cdot A^-1) = det A cdot det A^-1. Assim:
det A cdot det A^-1 = 1

Passo 6

Para isolar det A^-1, dividimos ambos os lados por det A:
det A^-1 = 1det A = (det A)^-1

Resposta

Verdadeiro. Demonstramos que det A^-1 = (det A)^-1.

Exercícios relacionados