Calcule o determinante de cada matriz.
B=[cccc3 & -1 & -5 & 1 0 & -1 & 2 & 0 3 & 5 & -1 & 2 1 & -2 & 5 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz B. A matéria que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como expandir o determinante de uma matriz 4x4 utilizando a regra de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado escolhendo uma linha ou coluna e expandindo por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para facilitar.
A matriz B é:
B = 3 & -1 & -5 & 1 0 & -1 & 2 & 0 3 & 5 & -1 & 2 1 & -2 & 5 & 2

Passo 3

Vamos aplicar a regra de Laplace na primeira linha. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar os resultados.
A fórmula fica assim:
det(B) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C11:
    • Removemos a primeira linha e a primeira coluna: M11 = -1 & 2 & 0 5 & -1 & 2 -2 & 5 & 2
    • Calculamos o determinante de M11: det(M11) = (-1)(-1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 2(5 cdot 2 - 2 cdot (-2)) + 0 = (-1)(-2 -10) - 2(10 +4) = (-1)(-12) - 2(14) = 12 - 28 = -16
    • Então, C11 = (-1)^1+1 times (-16) = 1 times (-16) = -16
  2. Cofator C12:
    • Removemos a primeira linha e a segunda coluna: M12 = 0 & 2 & 0 3 & -1 & 2 1 & 5 & 2
    • Determinante de M12: det(M12) = 0(-1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 2(3 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0 = 0 - 2(6 -2) + 0 = -2(4) = -8
    • Então, C12 = (-1)^1+2 times (-8) = -1 times (-8) = 8
  3. Cofator C13:
    • Removemos a primeira linha e a terceira coluna: M13 = 0 & -1 & 0 3 & 5 & 2 1 & -2 & 2
    • Determinante de M13: det(M13) = 0(5 cdot 2 - 2 cdot (-2)) - (-1)(3 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0 = 0 - (-1)(6 -2) + 0 = 4
    • Então, C13 = (-1)^1+3 times 4 = 1 times 4 = 4
  4. Cofator C14:
    • Removemos a primeira linha e a quarta coluna: M14 = 0 & -1 & 2 3 & 5 & -1 1 & -2 & 5
    • Determinante de M14: det(M14) = 0(5 cdot 5 - (-1) cdot (-2)) - (-1)(3 cdot 5 - (-1) cdot 1) + 2(3 cdot (-2) - 5 cdot 1) = 0 - (-1)(15 - (-1)) + 2(-6 -5) = 0 +16 -22 = -6
    • Então, C14 = (-1)^1+4 times (-6) = 1 times (-6) = -6

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do determinante:
det(B) = 3 times (-16) + (-1) times 8 + (-5) times 4 + 1 times (-6)
Calculando cada termo:
  • 3 times (-16) = -48
  • (-1) times 8 = -8
  • (-5) times 4 = -20
  • 1 times (-6) = -6

Passo 6

Somando todos os termos:
-48 -8 -20 -6 = -82

Passo 7

Portanto, o determinante da matriz B é:
det(B) = -82

Resposta

O determinante da matriz B é -82.

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