Calcule o determinante de cada matriz.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz . A matéria que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como expandir o determinante de uma matriz 4x4 utilizando a regra de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado escolhendo uma linha ou coluna e expandindo por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para facilitar.
A matriz é:

Passo 3

Vamos aplicar a regra de Laplace na primeira linha. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar os resultados.
A fórmula fica assim:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator :
    • Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
    • Calculamos o determinante de :
    • Então,
  2. Cofator :
    • Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
    • Determinante de :
    • Então,
  3. Cofator :
    • Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
    • Determinante de :
    • Então,
  4. Cofator :
    • Removemos a primeira linha e a quarta coluna:
    • Determinante de :
    • Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do determinante:
Calculando cada termo:

Passo 6

Somando todos os termos:

Passo 7

Portanto, o determinante da matriz é:

Resposta

O determinante da matriz é .

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