Resolva o seguinte sistema linear:
l 2 x-2 y-4 z=2 2 x+3 y+z=-3 4 x+y+6 z=8
pelo método de solução X=A^-1 B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da matriz inversa, que é uma técnica da matemática chamada Álgebra Linear. Primeiro, vamos entender o que temos aqui: três equações com três incógnitas (x, y, z). Para resolver isso, vamos precisar montar duas matrizes: a matriz dos coeficientes (A) e a matriz dos termos constantes (B). Então, vamos calcular a matriz inversa de A, que é a matriz que, quando multiplicada por A, dá a identidade. Por fim, vamos multiplicar essa matriz inversa pela matriz B para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Vamos começar identificando as matrizes A e B a partir do sistema de equações:
A = 2 & -2 & -4 2 & 3 & 1 4 & 1 & 6 , B = 2 -3 8
Aqui, a matriz A contém os coeficientes das incógnitas nas equações, e a matriz B contém os termos constantes do lado direito das equações.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz inversa de A, que é representada por A^-1. Para uma matriz 3x3, isso envolve calcular o determinante de A e a matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 2(3 cdot 6 - 1 cdot 1) - (-2)(2 cdot 6 - 1 cdot 4) -4(2 cdot 1 - 3 cdot 4) = 2(18 - 1) - (-2)(12 - 4) -4(2 - 12) = 2(17) + 2(8) -4(-10) = 34 + 16 + 40 = 90
Como o determinante é 90 (diferente de zero), a matriz inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A e, em seguida, a inversa A^-1. Para simplificar, usaremos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Após calcular a adjunta (que envolve encontrar os cofatores de cada elemento e transpor a matriz de cofatores), obtemos:
A^-1 = 190 19 & 14 & 4 -8 & 16 & -4 -2 & -4 & 6

Passo 5

Finalmente, vamos multiplicar a matriz inversa de A pela matriz B para encontrar a matriz X, que contém os valores de x, y e z:
X = A^-1 B = 190 19 & 14 & 4 -8 & 16 & -4 -2 & -4 & 6 2 -3 8
Calculando a multiplicação:
Para x:
x = 190 (19 cdot 2 + 14 cdot (-3) + 4 cdot 8) = 190 (38 - 42 + 32) = 2890 = 1445
Para y:
y = 190 (-8 cdot 2 + 16 cdot (-3) + (-4) cdot 8) = 190 (-16 - 48 - 32) = -9690 = -1615
Para z:
z = 190 (-2 cdot 2 + (-4) cdot (-3) + 6 cdot 8) = 190 (-4 + 12 + 48) = 5690 = 2845

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1445, y = -1615, z = 2845

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