Resolva o seguinte sistema linear:
pelo método de solução

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da matriz inversa, que é uma técnica da matemática chamada Álgebra Linear. Primeiro, vamos entender o que temos aqui: três equações com três incógnitas (x, y, z). Para resolver isso, vamos precisar montar duas matrizes: a matriz dos coeficientes (A) e a matriz dos termos constantes (B). Então, vamos calcular a matriz inversa de A, que é a matriz que, quando multiplicada por A, dá a identidade. Por fim, vamos multiplicar essa matriz inversa pela matriz B para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Vamos começar identificando as matrizes A e B a partir do sistema de equações:
Aqui, a matriz A contém os coeficientes das incógnitas nas equações, e a matriz B contém os termos constantes do lado direito das equações.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz inversa de A, que é representada por . Para uma matriz 3x3, isso envolve calcular o determinante de A e a matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Vamos calcular o determinante de A:
Como o determinante é 90 (diferente de zero), a matriz inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A e, em seguida, a inversa . Para simplificar, usaremos a fórmula:
Após calcular a adjunta (que envolve encontrar os cofatores de cada elemento e transpor a matriz de cofatores), obtemos:

Passo 5

Finalmente, vamos multiplicar a matriz inversa de A pela matriz B para encontrar a matriz X, que contém os valores de x, y e z:
Calculando a multiplicação:
Para x:
Para y:
Para z:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Obtenha a inversa de cada matriz, caso exista.
Calcule o determinante de cada matriz.
Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
e são simétricas;
Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
Se A é invertível, então é simétrica;