Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
(a) [rrrr1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior. O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinantes e operações elementares em matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar elementos abaixo da diagonal principal para chegar na forma triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o elemento (1,1) igual a 1.

Passo 3

Eliminando o elemento (2,1):
Para zerar o elemento na posição (2,1), multiplicamos a primeira linha por 5 e subtraímos da segunda linha.
Row2 = Row2 - 5 times Row1
Calculando:
0 &= 5 - 5 times 1 = 0 1 &= -9 - 5 times (-2) = -9 + 10 = 1 -9 &= 6 - 5 times 3 = 6 - 15 = -9 -2 &= 3 - 5 times 1 = 3 - 5 = -2
Então, a segunda linha fica:
[0, 1, -9, -2]

Passo 4

Eliminando o elemento (3,1):
Para zerar o elemento na posição (3,1), multiplicamos a primeira linha por -1 e somamos à terceira linha.
Row3 = Row3 + 1 times Row1
Calculando:
0 &= -1 + 1 times 1 = 0 0 &= 2 + 1 times (-2) = 2 - 2 = 0 -3 &= -6 + 1 times 3 = -6 + 3 = -3 -1 &= -2 + 1 times 1 = -2 + 1 = -1
Então, a terceira linha fica:
[0, 0, -3, -1]

Passo 5

Eliminando o elemento (4,1):
Para zerar o elemento na posição (4,1), multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da quarta linha.
Row4 = Row4 - 2 times Row1
Calculando:
0 &= 2 - 2 times 1 = 0 12 &= 8 - 2 times (-2) = 8 + 4 = 12 0 &= 6 - 2 times 3 = 6 - 6 = 0 -1 &= 1 - 2 times 1 = 1 - 2 = -1
Então, a quarta linha fica:
[0, 12, 0, -1]
Agora, a matriz está assim:
1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 12 & 0 & -1

Passo 6

Eliminando o elemento (4,2):
Agora, vamos zerar o elemento na posição (4,2) usando o pivô da segunda linha, que é 1.
Row4 = Row4 - 12 times Row2
Calculando:
0 &= 0 - 12 times 0 = 0 0 &= 12 - 12 times 1 = 0 108 &= 0 - 12 times (-9) = 0 + 108 = 108 23 &= -1 - 12 times (-2) = -1 + 24 = 23
Então, a quarta linha fica:
[0, 0, 108, 23]
A matriz agora é:
1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 0 & 108 & 23

Passo 7

Tornando a matriz triangular superior:
Vamos trocar a terceira e a quarta linha para facilitar a eliminação dos elementos abaixo da diagonal principal.
Troca de Row3 rightarrow Row4
Isso altera o sinal do determinante, então precisamos lembrar disso no final.
A matriz fica:
1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & 108 & 23 0 & 0 & -3 & -1
Agora, vamos eliminar o elemento (4,3):
Row4 = Row4 + 3108 times Row3 = Row4 + 136 times Row3
Calculando:
0 &= 0 + 136 times 0 = 0 0 &= 0 + 136 times 0 = 0 0 &= -3 + 136 times 108 = -3 + 3 = 0 -1336 &= -1 + 136 times 23 = -1 + 2336 = -3636 + 2336 = -1336
Então, a quarta linha fica:
[0, 0, 0, -1336]
Agora, a matriz está triangular superior:
1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & 108 & 23 0 & 0 & 0 & -1336

Passo 8

Calculando o determinante:
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Porém, precisamos lembrar que trocamos duas linhas, o que inverte o sinal do determinante.
determinante = (-1) times 1 times 1 times 108 times (-1336)
Calculando:
determinante &= -1 times 1 times 1 times 108 times (-1336) &= -1 times 108 times (-1336) &= 108 times 1336 &= 3 times 13 &= 39

Resposta

O determinante da matriz é 39.

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