Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior. O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinantes e operações elementares em matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar elementos abaixo da diagonal principal para chegar na forma triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o elemento (1,1) igual a 1.
Passo 3
Eliminando o elemento (2,1):
Para zerar o elemento na posição (2,1), multiplicamos a primeira linha por 5 e subtraímos da segunda linha.
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 4
Eliminando o elemento (3,1):
Para zerar o elemento na posição (3,1), multiplicamos a primeira linha por -1 e somamos à terceira linha.
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 5
Eliminando o elemento (4,1):
Para zerar o elemento na posição (4,1), multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da quarta linha.
Calculando:
Então, a quarta linha fica:
Agora, a matriz está assim:
Passo 6
Eliminando o elemento (4,2):
Agora, vamos zerar o elemento na posição (4,2) usando o pivô da segunda linha, que é 1.
Calculando:
Então, a quarta linha fica:
A matriz agora é:
Passo 7
Tornando a matriz triangular superior:
Vamos trocar a terceira e a quarta linha para facilitar a eliminação dos elementos abaixo da diagonal principal.
Isso altera o sinal do determinante, então precisamos lembrar disso no final.
A matriz fica:
Agora, vamos eliminar o elemento (4,3):
Calculando:
Então, a quarta linha fica:
Agora, a matriz está triangular superior:
Passo 8
Calculando o determinante:
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Porém, precisamos lembrar que trocamos duas linhas, o que inverte o sinal do determinante.
Calculando:
Resposta
O determinante da matriz é 39.