Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior.
[llll 1 & 3 & 9 & 7 2 & 3 & 2 & 5 0 & 3 & 4 & 1 4 & 6 & 9 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante dela. Para isso, vamos transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações elementares. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. As operações elementares que usamos são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Somar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos seguir esses passos para chegar na matriz triangular superior.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o elemento da primeira linha e primeira coluna (que é 1) como nosso pivô para eliminar os números abaixo dele na primeira coluna.
  • Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1
    Isso elimina o 2 da segunda linha, primeira coluna.
    1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 3 & 4 & 1 4 & 6 & 9 & 1
  • Linha4 = Linha4 - 4 × Linha1
    Isso elimina o 4 da quarta linha, primeira coluna.
    1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 3 & 4 & 1 0 & -6 & -27 & -27

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda coluna. Nosso pivô agora é -3 na posição (2,2). Vamos usá-lo para eliminar os números abaixo e acima dele na segunda coluna.
  • Linha3 = Linha3 + 1 × Linha2
    Isso elimina o 3 da terceira linha, segunda coluna.
    1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & -6 & -27 & -27
  • Linha4 = Linha4 - (-6 / -3) × Linha2 = Linha4 - 2 × Linha2
    Isso elimina o -6 da quarta linha, segunda coluna.
    1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & 0 & - (-27 + 32) = 5 & -27 + 18 = -9

Passo 4

Agora, vamos para a terceira coluna. O nosso pivô é -12 na posição (3,3). Vamos usá-lo para eliminar os números abaixo dele na terceira coluna.
  • Linha4 = Linha4 - (5 / -12) × Linha3 = Linha4 + (5/12) × Linha3
    Isso elimina o 5 da quarta linha, terceira coluna.
    1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & 0 & 0 & - (9/12) = - (3/4)

Passo 5

Agora que a matriz está triangular superior, basta multiplicar os elementos da diagonal principal para encontrar o determinante. Mas antes, precisamos considerar as operações que fizemos:
  • Na Passo 2, subtraímos múltiplos de linhas, o que não altera o determinante.
  • Na Passo 3, também subtraímos múltiplos de linhas.
  • Na Passo 4, multiplicamos a quarta linha por um número, o que afeta o determinante. Precisamos multiplicar o determinante final por esse número invertido.
Mas, para simplificar, já que mantivemos o pivô como 1 e não houve troca de linhas, podemos calcular diretamente o produto da diagonal.

Resposta

O determinante da matriz dada é:
1 times (-3) times (-12) times (-34) = 1 times -3 times -12 times -34 = -27
Então, o determinante é -27.

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Seja T: M22 longrightarrow M22 uma transformação linear definida por T([lla & b c & d])=[lla & 0 0 & d]. Quais das seguintes matrizes pertencem a N(T) ?
[cc 1 & 2 -1 & 3 ],[ll 0 & 4 2 & 0 ],[cc -3 & 0 0 & -3 ]
Onde M22 é o espaço vetorial de matrizes 2 times 2.
Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
(a) [rrrr1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1];
Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz:
[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2 ]
Dado um triângulo A B C, sejam M, N, P os pontos médio dos segmentos A B, B C e C A respectivamente. Verifique as expressões abaixo são verdadeiras ou falsas.
I) A N=-A C2-B C2 square