Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante dela. Para isso, vamos transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações elementares. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. As operações elementares que usamos são:
- Trocar duas linhas.
- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Somar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos seguir esses passos para chegar na matriz triangular superior.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o elemento da primeira linha e primeira coluna (que é 1) como nosso pivô para eliminar os números abaixo dele na primeira coluna.
-
Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1Isso elimina o 2 da segunda linha, primeira coluna.
1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 3 & 4 & 1 4 & 6 & 9 & 1 -
Linha4 = Linha4 - 4 × Linha1Isso elimina o 4 da quarta linha, primeira coluna.
1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 3 & 4 & 1 0 & -6 & -27 & -27
Passo 3
Agora, vamos focar na segunda coluna. Nosso pivô agora é -3 na posição (2,2). Vamos usá-lo para eliminar os números abaixo e acima dele na segunda coluna.
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Linha3 = Linha3 + 1 × Linha2Isso elimina o 3 da terceira linha, segunda coluna.
1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & -6 & -27 & -27 -
Linha4 = Linha4 - (-6 / -3) × Linha2 = Linha4 - 2 × Linha2Isso elimina o -6 da quarta linha, segunda coluna.
1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & 0 & - (-27 + 32) = 5 & -27 + 18 = -9
Passo 4
Agora, vamos para a terceira coluna. O nosso pivô é -12 na posição (3,3). Vamos usá-lo para eliminar os números abaixo dele na terceira coluna.
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Linha4 = Linha4 - (5 / -12) × Linha3 = Linha4 + (5/12) × Linha3Isso elimina o 5 da quarta linha, terceira coluna.
1 & 3 & 9 & 7 0 & -3 & -16 & -9 0 & 0 & -12 & -8 0 & 0 & 0 & - (9/12) = - (3/4)
Passo 5
Agora que a matriz está triangular superior, basta multiplicar os elementos da diagonal principal para encontrar o determinante. Mas antes, precisamos considerar as operações que fizemos:
- Na Passo 2, subtraímos múltiplos de linhas, o que não altera o determinante.
- Na Passo 3, também subtraímos múltiplos de linhas.
- Na Passo 4, multiplicamos a quarta linha por um número, o que afeta o determinante. Precisamos multiplicar o determinante final por esse número invertido.
Mas, para simplificar, já que mantivemos o pivô como 1 e não houve troca de linhas, podemos calcular diretamente o produto da diagonal.
Resposta
O determinante da matriz dada é:
Então, o determinante é -27.