Seja
uma transformação linear definida por
. Quais das seguintes matrizes pertencem a
?
Onde
é o espaço vetorial de matrizes
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
que pega uma matriz
e transforma ela em outra matriz
onde apenas os elementos
e
permanecem, ou seja:
O espaço
é o conjunto de todas as matrizes
. Queremos descobrir quais das matrizes dadas pertencem ao núcleo de
, ou seja,
. O núcleo de uma transformação linear consiste nas matrizes que, ao serem transformadas por
, resultam na matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo
. Ele é o conjunto de todas as matrizes
em
tais que
(a matriz zero). No nosso caso, isso significa:
Isso acontece se e somente se
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das matrizes fornecidas para ver se elas satisfazem
e
:
-
Matriz 1:Aqui,
e . Como e , essa matriz não pertence a . -
Matriz 2:Aqui,
e . Como ambos são iguais a zero, essa matriz pertence a . -
Matriz 3:Aqui,
e . Como e , essa matriz não pertence a .
Resposta
Apenas a segunda matriz
pertence ao núcleo
.