Seja uma transformação linear definida por . Quais das seguintes matrizes pertencem a ?
Onde é o espaço vetorial de matrizes .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que pega uma matriz e transforma ela em outra matriz onde apenas os elementos e permanecem, ou seja:
O espaço é o conjunto de todas as matrizes . Queremos descobrir quais das matrizes dadas pertencem ao núcleo de , ou seja, . O núcleo de uma transformação linear consiste nas matrizes que, ao serem transformadas por , resultam na matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo . Ele é o conjunto de todas as matrizes em tais que (a matriz zero). No nosso caso, isso significa:
Isso acontece se e somente se e .
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das matrizes fornecidas para ver se elas satisfazem e :
Matriz 1:
Aqui, e . Como e , essa matriz não pertence a .
Matriz 2:
Aqui, e . Como ambos são iguais a zero, essa matriz pertence a .