Seja T: M22 longrightarrow M22 uma transformação linear definida por T([lla & b c & d])=[lla & 0 0 & d]. Quais das seguintes matrizes pertencem a N(T) ?
[cc 1 & 2 -1 & 3 ],[ll 0 & 4 2 & 0 ],[cc -3 & 0 0 & -3 ]
Onde M22 é o espaço vetorial de matrizes 2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T( a & b c & d ) = a & 0 0 & d que pega uma matriz e transforma ela em outra matriz onde apenas os elementos e permanecem, ou seja:
O espaço é o conjunto de todas as matrizes . Queremos descobrir quais das matrizes dadas pertencem ao núcleo de , ou seja, . O núcleo de uma transformação linear consiste nas matrizes que, ao serem transformadas por , resultam na matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo T( a & b c & d ) = a & 0 0 & d = 0 & 0 0 & 0 . Ele é o conjunto de todas as matrizes em tais que (a matriz zero). No nosso caso, isso significa:
Isso acontece se e somente se e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das matrizes fornecidas para ver se elas satisfazem 1 & 2 -1 & 3 e 0 & 4 2 & 0 :
  1. Matriz 1:
    -3 & 0 0 & -3
    Aqui, e . Como e , essa matriz não pertence a .
  2. Matriz 2:
    Aqui, e . Como ambos são iguais a zero, essa matriz pertence a .
  3. Matriz 3:
    Aqui, e . Como e , essa matriz não pertence a .

Resposta

Apenas a segunda matriz
0 & 4 2 & 0
pertence ao núcleo .

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[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2 ]