Seja T: R^2 longrightarrow mathscrP2 uma transformação linear para a qual T(1,1)=1-2 x e T(3,-1)=x+2 x^2. Calcule T(-7,9) e T(a, b). Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que leva vetores do espaço para o espaço de polinômios , que são polinômios de grau até 2. A gente sabe que e . Nosso objetivo aqui é calcular e . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e montar uma matriz que representa , ajudando a encontrar a forma geral da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos indo de A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 para , nossa matriz terá 2 linhas (para as duas dimensões de entrada) e 3 colunas (para os coeficientes dos polinômios de grau 2: constante, , e ).
Vamos chamar a matriz de transformação de:
Aqui, cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de , ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar os coeficientes da matriz T(1,1) = T(1,0) + T(0,1) = 1 - 2x . Sabemos que:
T(3,-1) = 3T(1,0) - T(0,1) = x + 2x^2
T(1,0) = c + d x + e x^2
Vamos supor que:
T(0,1) = f + g x + h x^2
(c + d x + e x^2) + (f + g x + h x^2) = 1 - 2x
Substituindo na primeira equação:
c + f = 1 (1)
Comparando os coeficientes de cada termo:
d + g = -2 (2)
e + h = 0 (3)
3(c + d x + e x^2) - (f + g x + h x^2) = x + 2x^2
Agora, na segunda equação:
3c + 3d x + 3e x^2 - f - g x - h x^2 = x + 2x^2
Distribuindo:
3c - f = 0 (4)
Comparando os coeficientes:
3d - g = 1 (5)
3e - h = 2 (6)

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações formado:
Das equações (1) e (4):
c + f = 1
3c - f = 0
Somando as duas:
4c = 1 Rightarrow c = 14
Substituindo em (1):
14 + f = 1 Rightarrow f = 34
Agora, das equações (2) e (5):
d + g = -2
3d - g = 1
Somando as duas:
4d = -1 Rightarrow d = -14
Substituindo em (2):
-14 + g = -2 Rightarrow g = -74
Finalmente, das equações (3) e (6):
e + h = 0
3e - h = 2
Somando as duas:
4e = 2 Rightarrow e = 12
Substituindo em (3):
12 + h = 0 Rightarrow h = -12

Passo 5

Com os valores encontrados, podemos escrever T(1,0) = 14 - 14x + 12x^2 e T(0,1) = 34 - 74x - 12x^2 :
A = 14 & 34 -14 & -74 12 & -12
Portanto, a matriz que representa a transformação é:

Passo 6

Agora, para encontrar T(a, b) = a cdot T(1,0) + b cdot T(0,1) e T(-7,9) = -7 cdot T(1,0) + 9 cdot T(0,1) , vamos usar a linearidade da transformação. Isso significa que:
T(-7,9) = -7 ( 14 - 14x + 12x^2 ) + 9 ( 34 - 74x - 12x^2 )
Primeiro, vamos calcular :
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, multiplicar os escalares:
-7 cdot 14 = -74
-7 cdot ( -14x ) = 74x
-7 cdot 12x^2 = -72x^2
E para o segundo termo:
9 cdot 34 = 274
9 cdot ( -74x ) = -634x
9 cdot ( -12x^2 ) = -92x^2
Agora, somando tudo:
-74 + 274 + ( 74x - 634x ) + ( -72x^2 - 92x^2 )
Simplificando cada parte:
Constantes:
-74 + 274 = 204 = 5
Termos com 74x - 634x = -564x = -14x :
-72x^2 - 92x^2 = -162x^2 = -8x^2
Termos com :

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos:
T(-7,9) = 5 - 14x - 8x^2
E para T(a, b) = a cdot ( 14 - 14x + 12x^2 ) + b cdot ( 34 - 74x - 12x^2 ) :
T(a, b) = a4 - a4x + a2x^2 + 3b4 - 7b4x - b2x^2
Distribuindo T(a, b) = ( a4 + 3b4 ) + ( -a4x - 7b4x ) + ( a2x^2 - b2x^2 ) e T(a, b) = a + 3b4 + -a - 7b 4x + a - b2x^2 :
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Resposta

T(-7,9) = 5 - 14x - 8x^2
T(a, b) = a + 3b4 + -a - 7b 4x + a - b2x^2

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