Seja uma transformação linear para a qual e . Calcule e . Onde espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que leva vetores do espaço para o espaço de polinômios , que são polinômios de grau até 2. A gente sabe que e . Nosso objetivo aqui é calcular e . Para isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e montar uma matriz que representa , ajudando a encontrar a forma geral da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como estamos indo de para , nossa matriz terá 2 linhas (para as duas dimensões de entrada) e 3 colunas (para os coeficientes dos polinômios de grau 2: constante, , e ).
Vamos chamar a matriz de transformação de:
Aqui, cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de , ou seja, e .
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar os coeficientes da matriz T(1,1) = T(1,0) + T(0,1) = 1 - 2x . Sabemos que:
T(3,-1) = 3T(1,0) - T(0,1) = x + 2x^2
T(1,0) = c + d x + e x^2
Vamos supor que:
T(0,1) = f + g x + h x^2
(c + d x + e x^2) + (f + g x + h x^2) = 1 - 2x
Substituindo na primeira equação:
c + f = 1 (1)
Comparando os coeficientes de cada termo:
d + g = -2 (2)
e + h = 0 (3)
3(c + d x + e x^2) - (f + g x + h x^2) = x + 2x^2
Agora, na segunda equação:
3c + 3d x + 3e x^2 - f - g x - h x^2 = x + 2x^2
Distribuindo:
3c - f = 0 (4)
Comparando os coeficientes:
3d - g = 1 (5)
3e - h = 2 (6)
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações formado:
Das equações (1) e (4):
c + f = 1
3c - f = 0
Somando as duas:
4c = 1 Rightarrow c = 14
Substituindo em (1):
14 + f = 1 Rightarrow f = 34
Agora, das equações (2) e (5):
d + g = -2
3d - g = 1
Somando as duas:
4d = -1 Rightarrow d = -14
Substituindo em (2):
-14 + g = -2 Rightarrow g = -74
Finalmente, das equações (3) e (6):
e + h = 0
3e - h = 2
Somando as duas:
4e = 2 Rightarrow e = 12
Substituindo em (3):
12 + h = 0 Rightarrow h = -12
Passo 5
Com os valores encontrados, podemos escrever T(1,0) = 14 - 14x + 12x^2 e T(0,1) = 34 - 74x - 12x^2 :
A = 14 & 34 -14 & -74 12 & -12
Portanto, a matriz que representa a transformação é:
Passo 6
Agora, para encontrar T(a, b) = a cdot T(1,0) + b cdot T(0,1) e T(-7,9) = -7 cdot T(1,0) + 9 cdot T(0,1) , vamos usar a linearidade da transformação. Isso significa que: