Determine se
étransformação linear:
definida por
, onde c é um escalar fixado.
Onde
espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e
é o espaço vetorial de funções.
Onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação
é linear. A transformação
está definida por
, onde
é um número fixo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais:
é o espaço de todas as funções e
é o conjunto dos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
cumpre as regras dessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição vetorial:
para quaisquer funções e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer função e qualquer escalar .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Adição vetorial.
Tomemos duas funções quaisquer e
em
.
Calculando :
Tomemos duas funções quaisquer
Calculando
Então, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Multiplicação por escalar.
Tomemos uma função em
e um escalar
.
Calculando :
Tomemos uma função
Calculando
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.