Determine se T étransformação linear: T: mathscrF longrightarrow R definida por T(f)=f(c), onde c é um escalar fixado.
Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e mathscrF é o espaço vetorial de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação é linear. A transformação está definida por , onde é um número fixo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais: é o espaço de todas as funções e é o conjunto dos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se cumpre as regras dessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição vetorial: para quaisquer funções e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer função e qualquer escalar .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Adição vetorial.
Tomemos duas funções quaisquer T(f + g) = (f + g)(c) = f(c) + g(c) = T(f) + T(g) e em .
Calculando :
Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Multiplicação por escalar.
Tomemos uma função T(kf) = (kf)(c) = k cdot f(c) = kT(f) em e um escalar .
Calculando :
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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