Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: (0,2 ponto) B=(llll5 & 5 & 5 & 5 5 & b & b & b 5 & b & c & c 5 & b & c & d).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 4x4. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e operações elementares de linhas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a matriz B = 5 & 5 & 5 & 5 5 & b & b & b 5 & b & c & c 5 & b & c & d :
Nossa missão é encontrar .

Passo 3

Vamos simplificar a matriz usando operações nas linhas. Uma estratégia comum é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das demais linhas:
  • Linha 2: B' = 5 & 5 & 5 & 5 0 & b-5 & b-5 & b-5 0 & b-5 & c-5 & c-5 0 & b-5 & c-5 & d-5
  • Linha 3:
  • Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, observamos que a primeira coluna abaixo do primeiro elemento é toda zero. Isso nos permite simplificar o cálculo do determinante usando a expansão por cofatores. O determinante de det(B) = 5 times det b-5 & b-5 & b-5 b-5 & c-5 & c-5 b-5 & c-5 & d-5 será igual a multiplicado pelo determinante da submatriz 3x3 que sobra:

Passo 5

Na submatriz 3x3, percebemos que a primeira coluna é det b-5 & b-5 & b-5 b-5 & c-5 & c-5 b-5 & c-5 & d-5 = (b-5) times det 1 & b-5 & b-5 1 & c-5 & c-5 1 & c-5 & d-5 em todas as linhas. Podemos fatorar dessa coluna:

Passo 6

Agora, simplificamos a submatriz 2x2 que sobra. Subtraímos a primeira linha das demais para criar zeros:
1 & b-5 & b-5 0 & (c-5)-(b-5) & (c-5)-(b-5) 0 & (c-5)-(b-5) & (d-5)-(b-5) = 1 & b-5 & b-5 0 & c-b & c-b 0 & c-b & d-c

Passo 7

Calculamos agora o determinante dessa matriz simplificada:
det 1 & b-5 & b-5 0 & c-b & c-b 0 & c-b & d-c = 1 times [(c-b)(d-c) - (c-b)(c-b)] = (c-b)(d-c)

Passo 8

Voltando ao determinante original:
det(B) = 5 times (b-5) times (c-b) times (d-c)

Resposta

O determinante da matriz det(B) = 5, (b - 5), (c - b), (d - c) é:

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