Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 4x4. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e operações elementares de linhas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a matriz B = 5 & 5 & 5 & 5 5 & b & b & b 5 & b & c & c 5 & b & c & d :
Nossa missão é encontrar .
Passo 3
Vamos simplificar a matriz usando operações nas linhas. Uma estratégia comum é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das demais linhas:
Agora, observamos que a primeira coluna abaixo do primeiro elemento é toda zero. Isso nos permite simplificar o cálculo do determinante usando a expansão por cofatores. O determinante de det(B) = 5 times det b-5 & b-5 & b-5 b-5 & c-5 & c-5 b-5 & c-5 & d-5 será igual a multiplicado pelo determinante da submatriz 3x3 que sobra:
Passo 5
Na submatriz 3x3, percebemos que a primeira coluna é det b-5 & b-5 & b-5 b-5 & c-5 & c-5 b-5 & c-5 & d-5 = (b-5) times det 1 & b-5 & b-5 1 & c-5 & c-5 1 & c-5 & d-5 em todas as linhas. Podemos fatorar dessa coluna:
Passo 6
Agora, simplificamos a submatriz 2x2 que sobra. Subtraímos a primeira linha das demais para criar zeros: