Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz que é uma matriz quadrada 4x4. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e operações elementares de linhas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a matriz :
Nossa missão é encontrar .

Passo 3

Vamos simplificar a matriz usando operações nas linhas. Uma estratégia comum é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das demais linhas:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, observamos que a primeira coluna abaixo do primeiro elemento é toda zero. Isso nos permite simplificar o cálculo do determinante usando a expansão por cofatores. O determinante de será igual a multiplicado pelo determinante da submatriz 3x3 que sobra:

Passo 5

Na submatriz 3x3, percebemos que a primeira coluna é em todas as linhas. Podemos fatorar dessa coluna:

Passo 6

Agora, simplificamos a submatriz 2x2 que sobra. Subtraímos a primeira linha das demais para criar zeros:

Passo 7

Calculamos agora o determinante dessa matriz simplificada:

Passo 8

Voltando ao determinante original:

Resposta

O determinante da matriz é:

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(a) dada por .