Encontre uma matriz triangular superior tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz triangular superior tal que quando elevamos essa matriz ao cubo, ou seja, , o resultado seja a matriz dada:
Aqui, estamos lidando com matrizes triangulares superiores, que são matrizes onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes triangulares.

Passo 2

Vamos supor que a matriz triangular superior tenha a seguinte forma:
Onde , e são números que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Quando elevamos uma matriz triangular superior ao cubo, a diagonal principal é composta pelos elementos elevados ao cubo, e o elemento acima da diagonal é uma combinação dos elementos , e . Formalmente:

Passo 4

Comparando com a matriz dada:
Podemos igualar os elementos correspondentes:
  1. Diagonal principal:
  2. Elemento acima da diagonal:

Passo 5

Vamos resolver as equações da diagonal principal primeiro:

  1. (pois )

  2. (pois )

Passo 6

Agora, substituímos os valores de e na equação do elemento acima da diagonal:

Resposta

Portanto, a matriz triangular superior que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Determine condições sobre e para que o sistema não tenha solução, tenha solução única e tenha infinitas soluções.
Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) ;
Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) .
Se possível, calcule a inversa da matriz