Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Determine condições sobre e para que o sistema não tenha solução, tenha solução única e tenha infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de um sistema de equações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos analisar as condições para os parâmetros e de tal forma que o sistema não tenha solução, tenha uma solução única ou tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema e entender suas possíveis soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação do método de eliminação. Nosso sistema é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as condições para as soluções.
Primeiro, vamos eliminar o das equações abaixo da primeira. Para isso:
  • Equação 2 - 2 × Equação 1:
  • Equação 3 + Equação 1:
  • Equação 4 - 3 × Equação 1:
Após as operações, nosso sistema fica assim:

Passo 4

Observamos que as últimas três equações acabaram formando a mesma expressão , mas com direitos diferentes:
Para que todas essas equações sejam verdadeiras simultaneamente, os termos à direita devem ser iguais entre si. Portanto, temos as seguintes condições:

Passo 5

Vamos resolver essas igualdades para encontrar as relações entre e :
  1. Primeira igualdade:
  1. Segunda igualdade:
Agora, temos duas expressões para :
Resolvendo para :

Passo 6

Com essas relações estabelecidas, podemos definir as condições para cada caso:
  1. Sistema não tem solução:
    Isso acontece quando as condições que relacionam e não são satisfeitas. Ou seja, se ou , o sistema não terá solução.
  2. Sistema tem solução única:
    Para que haja uma solução única, as três condições devem ser satisfeitas, ou seja:
    Além disso, como temos três equações resultantes iguais, e o sistema originalmente tinha quatro equações, para garantir que há apenas uma solução, devemos ter que as equações são consistentes e que não há variáveis livres, o que é garantido pelas condições acima.
  3. Sistema tem infinitas soluções:
    Isso ocorreria se houvesse menos equações independentes do que incógnitas. No nosso caso, como reduzimos para apenas uma equação , que depende das condições acima, e precisamos de mais equações para ter variáveis livres. Contudo, devido à estrutura do sistema, não há possibilidade de ter infinitas soluções a menos que as condições restritivas sejam relaxadas, o que não é o caso aqui.

Resposta

Para que o sistema de equações não tenha solução, deve-se ter que ou . Para que o sistema tenha uma solução única, as condições e devem ser satisfeitas simultaneamente. Não há condições que permitam infinitas soluções para este sistema.

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