Se possível, calcule a inversa da matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz inversa da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos usar o método das operações elementares sobre linhas, trabalhando com uma matriz aumentada que combina com a matriz identidade. Vamos precisar entender como aplicar essas operações para transformar na identidade e, ao mesmo tempo, transformar a identidade na inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada que combina com a matriz identidade (já que é 4x4). A matriz aumentada fica assim:
O objetivo é transformar o lado esquerdo dessa matriz (originalmente ) na matriz identidade usando operações de linha.

Passo 3

Vamos começar fazendo com que o primeiro elemento da primeira coluna seja 1, o que já está certo. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Olhando para a quarta linha, que começa com 1, vamos subtrair a primeira linha dela.
Operação:
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo elemento da segunda linha já é 1. Queremos zerar os elementos acima e abaixo dele na segunda coluna.
Primeiro, vamos subtrair a segunda linha da quarta linha para zerar o elemento .
Operação:
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora para a terceira coluna. O terceiro elemento da terceira linha é 1. Precisamos zerar os elementos acima e abaixo dele na terceira coluna.
Primeiro, vamos adicionar a terceira linha à quarta linha para zerar o elemento .
Operação:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a quarta coluna. O elemento é -1. Vamos multiplicar a quarta linha por -1 para tornar esse elemento 1.
Operação:
A matriz fica:

Passo 7

Com o elemento igual a 1, vamos zerar os outros elementos na quarta coluna.
Primeiro, vamos subtrair a quarta linha da primeira linha para zerar o elemento .
Operação:
A matriz fica:

Passo 8

Ainda na quarta coluna, vamos zerar o elemento . Para isso, vamos subtrair a quarta linha da segunda linha.
Operação:
A matriz fica:

Passo 9

Agora, vamos voltar para a terceira coluna. Queremos zerar o elemento . Vamos subtrair a terceira linha da segunda linha.
Operação:
A matriz fica:

Passo 10

Por fim, vamos ajustar a segunda coluna. Queremos que o elemento seja 1, o que já está. Vamos garantir que os outros elementos na segunda coluna sejam 0, o que já está feito.
Agora, nossa matriz está na forma identidade do lado esquerdo:

Resposta

Portanto, a matriz inversa de é:

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