Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(a) dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para o espaço de partida e para o espaço de chegada . Nosso objetivo é calcular a matriz da transformação , que representa com relação às bases e . Para chegar lá, vamos precisar aplicar aos vetores de e expressar os resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação a cada vetor da base . Vamos começar com o primeiro vetor :

Passo 3

Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base , que é :

Passo 4

Em seguida, aplicamos ao terceiro vetor da base , que é :

Passo 5

Agora que temos as imagens dos vetores de através de , precisamos expressar cada um desses vetores na base . Vamos começar com .
Para expressar um vetor na base , queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Portanto, .

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para :
Sistema de equações:
Resolvendo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Então, .

Passo 7

Por fim, vamos expressar na base :
Sistema de equações:
Resolvendo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Portanto, .

Resposta

A matriz da transformação na base para a base é:

Exercícios relacionados

Se possível, calcule a inversa da matriz
Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) .
Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(b) dada por e .
Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
© dada por .