Exercício 2. Dadas T: V W linear, alpha base de V e beta base de W, calcule [T]beta^alpha.
(a) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y-z,-x+2 z, 2 x+2 y+3 z), alpha=(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1) e beta=(1,-1,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para o espaço de partida e para o espaço de chegada . Nosso objetivo é calcular a matriz da transformação , que representa com relação às bases e . Para chegar lá, vamos precisar aplicar aos vetores de e expressar os resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(v1) = T(1, 0, 1) = (1 + 0 - 1, -1 + 2 cdot 1, 2 cdot 1 + 2 cdot 0 + 3 cdot 1) = (0, 1, 5) a cada vetor da base . Vamos começar com o primeiro vetor :

Passo 3

Agora, vamos aplicar T(v2) = T(1, 0, 0) = (1 + 0 - 0, -1 + 2 cdot 0, 2 cdot 1 + 2 cdot 0 + 3 cdot 0) = (1, -1, 2) ao segundo vetor da base , que é :

Passo 4

Em seguida, aplicamos T(v3) = T(1, 1, 1) = (1 + 1 - 1, -1 + 2 cdot 1, 2 cdot 1 + 2 cdot 1 + 3 cdot 1) = (1, 1, 7) ao terceiro vetor da base , que é :

Passo 5

Agora que temos as imagens dos vetores de (0, 1, 5) = c1 (1, -1, 1) + c2 (0, 1, 1) + c3 (0, 0, 1) através de c1 = 0 - c1 + c2 = 1 c1 + c2 + c3 = 5 , precisamos expressar cada um desses vetores na base 0 1 4 . Vamos começar com .
Para expressar um vetor na base , queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Portanto, .

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para (1, -1, 2) = c1 (1, -1, 1) + c2 (0, 1, 1) + c3 (0, 0, 1) :
c1 = 1 - c1 + c2 = -1 c1 + c2 + c3 = 2
Sistema de equações:
1 0 1
Resolvendo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Então, .

Passo 7

Por fim, vamos expressar (1, 1, 7) = c1 (1, -1, 1) + c2 (0, 1, 1) + c3 (0, 0, 1) na base c1 = 1 - c1 + c2 = 1 c1 + c2 + c3 = 7 :
1 2 4
Sistema de equações:
Resolvendo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Portanto, .

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^alpha = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 4 & 1 & 4 na base para a base é:

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