Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: (0,2 ponto) A=(cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 5 & 25 & 125 1 & 25 & 125 & 625 1 & 125 & 625 & 3125);

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o determinante da matriz que é uma matriz 4x4. O determinante é um número que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linhas para simplificar a matriz até facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 5 & 25 & 125 1 & 25 & 125 & 625 1 & 125 & 625 & 3125 :
Notamos que todas as linhas começam com 1. Vamos usar isso a nosso favor.

Passo 3

Vamos simplificar a matriz usando operações elementares. Uma boa estratégia é subtrair a primeira linha das demais linhas para criar zeros na primeira coluna, facilitando o cálculo do determinante.
Subtraindo a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 4 & 24 & 124 0 & 24 & 124 & 624 0 & 124 & 624 & 3124

Passo 4

Agora, vamos focar na submatriz 3x3 que fica abaixo da primeira linha e da primeira coluna:
4 & 24 & 124 24 & 124 & 624 124 & 624 & 3124
Para facilitar, podemos dividir a segunda linha por 4:
1 & 6 & 31 6 & 31 & 156 31 & 156 & 781

Passo 5

Vamos continuar simplificando subtraindo múltiplos de linhas para criar zeros. Subtraindo 6 vezes a primeira linha da segunda e 31 vezes a primeira linha da terceira:
1 & 6 & 31 0 & -5 & -30 0 & -30 & -30

Passo 6

Agora, observamos que a segunda e terceira linhas são proporcionais. Isso significa que a matriz tem linhas lineares dependentes, o que indica que o determinante é zero.

Resposta

O determinante da matriz é .

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