Seja
, o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais
o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e um produto interno definido de uma certa maneira. Nosso objetivo é calcular o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes em função de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno no espaço das matrizes e como calcular normas e o cosseno do ângulo usando esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre duas matrizes
e
é dado por:
Aqui,
é o produto interno entre
e
, e
e
são as normas das matrizes
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
. Dadas as matrizes:
E o produto interno definido por:
Substituindo os elementos de
e
:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas das matrizes
e
. A norma de uma matriz
é dada por:
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 5
Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Resposta
O cosseno do ângulo entre as matrizes é dado por: