Seja , o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre em função de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e um produto interno definido de uma certa maneira. Nosso objetivo é calcular o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes em função de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno no espaço das matrizes e como calcular normas e o cosseno do ângulo usando esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre duas matrizes e é dado por:
Aqui, é o produto interno entre e , e e são as normas das matrizes e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno . Dadas as matrizes:
E o produto interno definido por:
Substituindo os elementos de e :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas das matrizes e . A norma de uma matriz é dada por:
Primeiro, para :
Agora, para :
Passo 5
Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo: