Seja , o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre em função de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e um produto interno definido de uma certa maneira. Nosso objetivo é calcular o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes em função de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno no espaço das matrizes e como calcular normas e o cosseno do ângulo usando esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre duas matrizes e é dado por:
Aqui, é o produto interno entre e , e e são as normas das matrizes e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno . Dadas as matrizes:
E o produto interno definido por:
Substituindo os elementos de e :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas das matrizes e . A norma de uma matriz é dada por:
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 5

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:

Resposta

O cosseno do ângulo entre as matrizes é dado por:

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Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b)
Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(e) vértices , passa por ;
Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: ponto) ;
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Determine condições sobre e para que o sistema não tenha solução, tenha solução única e tenha infinitas soluções.