Seja V=M(2,2), o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais e o produto interno dado pela expressão
lang<=[ll a & b c & d ],[ll e & f g & h ]rang<==a e+2 b f+3 c g+d h
Calcule o cosseno do ângulo entre [cc1 & -1 2 & 1] e[cc1 & -1 2 & x] em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e um produto interno definido de uma certa maneira. Nosso objetivo é calcular o cosseno do ângulo entre essas duas matrizes em função de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno no espaço das matrizes e como calcular normas e o cosseno do ângulo usando esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre duas matrizes cos(theta) = lang<= A, B rang<=|A| cdot |B| e é dado por:
Aqui, é o produto interno entre e , e e são as normas das matrizes e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno A = 1 & -1 2 & 1 , B = 1 & -1 2 & x . Dadas as matrizes:
lang<= A, B rang<= = a e + 2 b f + 3 c g + d h
E o produto interno definido por:
lang<= A, B rang<= = (1)(1) + 2(-1)(-1) + 3(2)(2) + (1)(x)
Substituindo os elementos de 1 cdot 1 = 1 e 2 cdot (-1) cdot (-1) = 2 :
3 cdot 2 cdot 2 = 12
Vamos calcular cada termo:
1 cdot x = x
lang<= A, B rang<= = 1 + 2 + 12 + x = 15 + x
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas das matrizes |A| = raizlang<= A, A rang<= e lang<= A, A rang<= = (1)(1) + 2(-1)(-1) + 3(2)(2) + (1)(1) . A norma de uma matriz = 1 + 2 + 12 + 1 = 16 é dada por:
|A| = raiz16 = 4
Primeiro, para lang<= B, B rang<= = (1)(1) + 2(-1)(-1) + 3(2)(2) + (x)(x) :
= 1 + 2 + 12 + x^2 = 15 + x^2
|B| = raiz15 + x^2
Agora, para :

Passo 5

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 15 + x4 cdot raiz15 + x^2

Resposta

O cosseno do ângulo entre as matrizes é dado por:
cos(theta) = 15 + x4 raiz15 + x^2

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