Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b) x^2-4 y^2+6 x+24 y-31=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação . Estamos trabalhando com Conic Sections, mais especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para colocar a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 6x - 4y^2 + 24y = 31 e os termos de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9 e de -4y^2 + 24y = -4(y^2 - 6y) = -4[(y^2 - 6y + 9) - 9] = -4(y - 3)^2 + 36 :
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 3)^2 - 9 - 4(y - 3)^2 + 36 = 31
Simplificando os termos constantes:
(x + 3)^2 - 4(y - 3)^2 + 27 = 31
Subtraindo 27 de ambos os lados:
(x + 3)^2 - 4(y - 3)^2 = 4
Dividindo toda a equação por 4 para isolar 1:
(x + 3)^24 - (y - 3)^21 = 1
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1

Passo 5

Comparando com a forma padrão, identificamos o centro da hipérbole h = -3 e k = 3 :
Então, o centro é .

Passo 6

Na forma padrão, a = 2 e b = 1 e Vértices: (-3 pm 2, 3) Rightarrow (-5, 3) e (-1, 3) , então:
c^2 = 4 + 1 = 5 Rightarrow c = raiz5
Os vértices da hipérbole estão a uma distância Focos: (-3 pm raiz5, 3) Rightarrow (-3 - raiz5, 3) e (-3 + raiz5, 3) do centro ao longo do eixo principal (no eixo neste caso):
é
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a uma distância do centro:

Passo 7

A excentricidade e = ca = raiz52 da hipérbole é dada por:

Passo 8

Para esboçar o gráfico da hipérbole:
  1. Desenhe o centro em .
  2. Marque os vértices em e .
  3. Marque os focos em e .
  4. Desenhe as assimptotas usando a inclinação .
  5. Desenhe as duas ramos da hipérbole que se aproximam das assimptotas.

Resposta

A forma padrão da equação é . O centro da hipérbole é . Os vértices estão em e . Os focos estão em e . A excentricidade é . O gráfico da hipérbole possui dois ramos que se abrem horizontalmente a partir dos vértices, aproximando-se das assimptotas com inclinação .

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