Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação . Estamos trabalhando com Conic Sections, mais especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para colocar a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e os termos de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de :
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Subtraindo 27 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 4 para isolar 1:
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole:

Passo 5

Comparando com a forma padrão, identificamos o centro da hipérbole :
Então, o centro é .

Passo 6

Na forma padrão, e , então:
Os vértices da hipérbole estão a uma distância do centro ao longo do eixo principal (no eixo neste caso):
é
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a uma distância do centro:

Passo 7

A excentricidade da hipérbole é dada por:

Passo 8

Para esboçar o gráfico da hipérbole:
  1. Desenhe o centro em .
  2. Marque os vértices em e .
  3. Marque os focos em e .
  4. Desenhe as assimptotas usando a inclinação .
  5. Desenhe as duas ramos da hipérbole que se aproximam das assimptotas.

Resposta

A forma padrão da equação é . O centro da hipérbole é . Os vértices estão em e . Os focos estão em e . A excentricidade é . O gráfico da hipérbole possui dois ramos que se abrem horizontalmente a partir dos vértices, aproximando-se das assimptotas com inclinação .

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