Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação
. Estamos trabalhando com Conic Sections, mais especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para colocar a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Subtraindo 27 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 4 para isolar 1:
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole:
Passo 5
Comparando com a forma padrão, identificamos o centro da hipérbole
:
Então, o centro é
.
Passo 6
Na forma padrão,
e
, então:
Os vértices da hipérbole estão a uma distância
do centro ao longo do eixo principal (no eixo
neste caso):
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão a uma distância
do centro:
Passo 7
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Passo 8
Para esboçar o gráfico da hipérbole:
- Desenhe o centro em
. - Marque os vértices em
e . - Marque os focos em
e . - Desenhe as assimptotas usando a inclinação
. - Desenhe as duas ramos da hipérbole que se aproximam das assimptotas.
Resposta
A forma padrão da equação é
. O centro da hipérbole é
. Os vértices estão em
e
. Os focos estão em
e
. A excentricidade é
. O gráfico da hipérbole possui dois ramos que se abrem horizontalmente a partir dos vértices, aproximando-se das assimptotas com inclinação
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(e) vértices , passa por
;
(e) vértices
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Seja
, o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais
o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre
em função de
.
Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
ponto)
;