Calcule determinante
(d) |cccc2 & -1 & 4 & -3 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 2 & 3 & -1 1 & -2 & 2 & -3|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes. Para resolver isso, vamos usar o método de expansão por cofatores, que ajuda a simplificar o cálculo de determinantes de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna. A ideia é quebrar o determinante maior em determinantes menores, chamados de menores, e combinar esses valores com sinais apropriados.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha para expandir, já que ela tem números que não complicam muito os cálculos. A matriz dada é:
2 & -1 & 4 & -3 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 2 & 3 & -1 1 & -2 & 2 & -3

Passo 4

A fórmula para a expansão por cofatores na primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde e é a matriz menor removendo a linha i e a coluna j.

Passo 5

Vamos calcular cada cofactor:
  • Para C11 = (-1)^1+1 times det(1 & 0 & 2 2 & 3 & -1 -2 & 2 & -3) = 1 times det(M11) :
C12 = (-1)^1+2 times det(-1 & 0 & 2 3 & 3 & -1 1 & 2 & -3) = -1 times det(M12)
  • Para C13 = (-1)^1+3 times det(-1 & 1 & 2 3 & 2 & -1 1 & -2 & -3) = 1 times det(M13) :
C14 = (-1)^1+4 times det(-1 & 1 & 0 3 & 2 & 3 1 & -2 & 2) = -1 times det(M14)
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, vamos calcular cada determinante menor:
  1. 1 & 0 & 2 2 & 3 & -1 -2 & 2 & -3 = 1 times (3 times (-3) - (-1) times 2) - 0 + 2 times (2 times 2 - 3 times (-2)) = 1 times (-9 + 2) + 2 times (4 + 6) = -7 + 20 = 13 :
-1 & 0 & 2 3 & 3 & -1 1 & 2 & -3 = -1 times (3 times (-3) - (-1) times 2) - 0 + 2 times (3 times 2 - 3 times 1) = -1 times (-9 + 2) + 2 times (6 - 3) = 7 + 6 = 13
  1. -1 & 1 & 2 3 & 2 & -1 1 & -2 & -3 = -1 times (2 times (-3) - (-1) times (-2)) - 1 times (3 times (-3) - (-1) times 1) + 2 times (3 times (-2) - 2 times 1) = -1 times (-6 - 2) - 1 times (-9 -1) + 2 times (-6 -2) = 8 + 10 - 16 = 2 :
-1 & 1 & 0 3 & 2 & 3 1 & -2 & 2 = -1 times (2 times 2 - 3 times (-2)) - 1 times (3 times 2 - 3 times 1) + 0 = -1 times (4 + 6) - 1 times (6 - 3) = -10 - 3 = -13
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, substituímos os valores dos cofatores na fórmula inicial:
det(A) = 2 times 13 + (-1) times 13 + 4 times 2 + (-3) times (-13) = 26 - 13 + 8 + 39 = 60

Resposta

O determinante da matriz é 60.

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