Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(a) [I]alpha^beta

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem três bases , e para o . A pergunta é para encontrar a matriz de transição , que basicamente nos ajuda a trocar coordenadas de uma base para outra. Para isso, vamos precisar entender como as vetores de uma base se expressam na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as bases que temos:
  • Base
  • Base
  • Base
Como queremos a matriz , vamos focar nas bases e .

Passo 3

A matriz de transição é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base expressos na base . Ou seja, precisamos escrever cada vetor de como combinação linear dos vetores de .

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor da base (1,0) = c1 cdot (-1,1) + c2 cdot (1,1) , que é - c1 + c2 = 1 . Queremos encontrar coeficientes c1 + c2 = 0 e tais que:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: - (-c2) + c2 = 1 Rightarrow c2 + c2 = 1 Rightarrow 2c2 = 1 Rightarrow c2 = 12 .
Substituindo na primeira:
Então, .

Passo 6

Agora, o primeiro vetor da base na base é .

Passo 7

Vamos agora para o segundo vetor da base (0,1) = d1 cdot (-1,1) + d2 cdot (1,1) , que é - d1 + d2 = 0 . Da mesma forma, queremos d1 + d2 = 1 e tais que:
Isso nos dá:

Passo 8

Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: d1 + d1 = 1 Rightarrow 2d1 = 1 Rightarrow d1 = 12 .
Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 9

Portanto, o segundo vetor da base na base é .

Passo 10

Agora que temos as coordenadas dos vetores de [I]alpha^beta = -12 & 12 12 & 12 na base , podemos montar a matriz . Cada coluna da matriz será uma dessas coordenadas:

Resposta

A matriz de transição [I]alpha^beta = -12 & 12 12 & 12 é:

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