Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine:
(a)
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem três bases
,
e
para o
. A pergunta é para encontrar a matriz de transição
, que basicamente nos ajuda a trocar coordenadas de uma base para outra. Para isso, vamos precisar entender como as vetores de uma base se expressam na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as bases que temos:
- Base
- Base
- Base
Como queremos a matriz
, vamos focar nas bases
e
.
Passo 3
A matriz de transição
é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base
expressos na base
. Ou seja, precisamos escrever cada vetor de
como combinação linear dos vetores de
.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é
. Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
.
Substituindo na primeira:
Então,
.
Passo 6
Agora, o primeiro vetor da base
na base
é
.
Passo 7
Vamos agora para o segundo vetor da base
, que é
. Da mesma forma, queremos
e
tais que:
Isso nos dá:
Passo 8
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
.
Substituindo na segunda:
Então,
.
Passo 9
Portanto, o segundo vetor da base
na base
é
.
Passo 10
Agora que temos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos montar a matriz
. Cada coluna da matriz será uma dessas coordenadas:
Resposta
A matriz de transição
é: