Sejam alpha=1, t, t^2 e beta=1,2 t+1, t^2 bases ordenadas de P2.
(a) Determine [I]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases ordenadas, alpha = 1, t, t^2 e beta = 1, 2t + 1, t^2, que pertencem ao espaço P2 dos polinômios de grau no máximo 2. O objetivo aqui é determinar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha para a transformação identidade I. Para isso, vamos precisar entender como cada vetor da base beta pode ser representado na base alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base [I]beta^alpha serve para converter as coordenadas de um vetor da base beta para a base alpha. Ou seja, para cada vetor da base beta, vamos expressá-lo como combinação linear dos vetores da base alpha. Os coeficientes dessa combinação vão formar as colunas da matriz [I]beta^alpha.

Passo 3

Vamos começar pelo primeiro vetor da base beta, que é 1. Queremos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
1 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2
Comparando os coeficientes de cada termo, temos:
a = 1 b = 0 c = 0
Portanto, 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2, e os coeficientes são a=1, b=0, c=0.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo vetor da base beta, que é 2t + 1. Precisamos encontrar a, b e c tais que:
2t + 1 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2
Comparando os coeficientes, temos:
a = 1 b = 2 c = 0
Então, 2t + 1 = 1 cdot 1 + 2 cdot t + 0 cdot t^2, com a=1, b=2, c=0.

Passo 5

Por último, vamos para o terceiro vetor da base beta, que é t^2. Queremos expressá-lo da seguinte forma:
t^2 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2
Comparando os coeficientes, temos:
a = 0 b = 0 c = 1
Portanto, t^2 = 0 cdot 1 + 0 cdot t + 1 cdot t^2, com a=0, b=0, c=1.

Passo 6

Agora que temos as combinações lineares de cada vetor da base beta em termos da base alpha, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes obtidos nos passos anteriores:
[I]beta^alpha = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha é:
[I]beta^alpha = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1

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