Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases ordenadas, e , que pertencem ao espaço dos polinômios de grau no máximo 2. O objetivo aqui é determinar a matriz de mudança de base para a transformação identidade . Para isso, vamos precisar entender como cada vetor da base pode ser representado na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor da base para a base . Ou seja, para cada vetor da base , vamos expressá-lo como combinação linear dos vetores da base . Os coeficientes dessa combinação vão formar as colunas da matriz .
Passo 3
Vamos começar pelo primeiro vetor da base , que é . Queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Comparando os coeficientes de cada termo, temos:
Portanto, 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2, e os coeficientes são a=1, b=0, c=0.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor da base beta, que é 2t + 1. Precisamos encontrar a, b e c tais que:
2t + 1 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2
Comparando os coeficientes, temos:
a = 1 b = 2 c = 0
Então, 2t + 1 = 1 cdot 1 + 2 cdot t + 0 cdot t^2, com a=1, b=2, c=0.
Passo 5
Por último, vamos para o terceiro vetor da base beta, que é t^2. Queremos expressá-lo da seguinte forma:
t^2 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2
Comparando os coeficientes, temos:
a = 0 b = 0 c = 1
Portanto, t^2 = 0 cdot 1 + 0 cdot t + 1 cdot t^2, com a=0, b=0, c=1.
Passo 6
Agora que temos as combinações lineares de cada vetor da base beta em termos da base alpha, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes obtidos nos passos anteriores: