Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^2 ? Justifique.
© W=(x, y) mid x+3 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, pra um conjunto ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Ser fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos começar verificando se o vetor zero está em 0 + 3 times 0 = 0 . Substituindo e na equação , temos:
Isso confirma que está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos ver se x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0 é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2, y1 + y2) , digamos (x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (x1 + 3y1) + (x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0 e , onde:
Somando esses vetores:
Vamos verificar se esse novo vetor também satisfaz a equação :
Então, a soma está em , confirmando que é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a multiplicação escalar. Seja (c x, c y) um número real qualquer e c x + 3(c y) = c(x + 3y) = c times 0 = 0 um vetor em , onde . Multiplicando por :
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz :
Isso mostra que , então o vetor está em . Portanto, é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .

Exercícios relacionados