Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, pra um conjunto ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições básicas:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Ser fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de
por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos começar verificando se o vetor zero está em
. Substituindo
e
na equação
, temos:
Isso confirma que
está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde:
Somando esses vetores:
Vamos verificar se esse novo vetor também satisfaz a equação
:
Então, a soma está em
, confirmando que
é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a multiplicação escalar. Seja
um número real qualquer e
um vetor em
, onde
. Multiplicando por
:
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz
:
Isso mostra que
, então o vetor
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço de
.