Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^3 ? Justifique.
(e) W=(x, y, z) mid x y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos saber o que define um subespaço vetorial e quais propriedades devemos verificar.

Passo 2

Um subconjunto de é considerado um subespaço vetorial se satisfizer três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero é x cdot y = 0 cdot 0 = 0 . Substituindo na condição:
x1 cdot y1 = 0
Como x2 cdot y2 = 0 , o vetor zero está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores (x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 e x1 y2 + x2 y1 em u + v = (1, 1, 0) . Isso significa que:
(1)(1) = 1 neq 0
cu = (c x, c y, c z)
Agora, somamos os vetores:
(c x)(c y) = c^2 (x y)
Vamos verificar se c^2 cdot 0 = 0 :
Sabemos que e , então:
Esse valor nem sempre é zero. Por exemplo, se e , então:
E:
Portanto, nem sempre está em .
3. Verificando se é fechado sob multiplicação escalar:
Embora já tenhamos encontrado que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação escalar para completar a análise.
Tomemos um vetor em , ou seja, , e um escalar . Multiplicando por :
Agora, verificamos:
Como , temos:
Portanto, também está em .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não é fechado sob a operação de adição.

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