Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos saber o que define um subespaço vetorial e quais propriedades devemos verificar.
Passo 2
Um subconjunto
de
é considerado um subespaço vetorial se satisfizer três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero é
. Substituindo na condição:
Como
, o vetor zero está em
.
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Agora, somamos os vetores:
Vamos verificar se
:
Sabemos que
e
, então:
Esse valor nem sempre é zero. Por exemplo, se
e
, então:
E:
Portanto,
nem sempre está em
.
3. Verificando se é fechado sob multiplicação escalar:
Embora já tenhamos encontrado que
não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação escalar para completar a análise.
Tomemos um vetor
em
, ou seja,
, e um escalar
. Multiplicando
por
:
Agora, verificamos:
Como
, temos:
Portanto,
também está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob a operação de adição.