Calcule o determinante de A, det A, usando escalonamento, onde a matriz A é dada por
(a) A=[cccc2 & 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 4 2 & 0 & 1 & -3]
(b) A=[ccc5 & 2 & 2 -1 & 1 & 2 3 & 0 & 0]
© A=[cccc1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1]
(d) A=[ccc-4 & 1 & 3 2 & -2 & 4 1 & -1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 4 2 & 0 & 1 & -3 usando escalonamento. A matriz que vamos trabalhar é:
Para isso, vamos usar operações de linha para transformar essa matriz em uma matriz triangular superior. Lembrando que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Dividimos a primeira linha por 2:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 4 2 & 0 & 1 & -3

Passo 3

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda linha e multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da quarta linha:
  • Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 0 & 0 & 0.5 & 2.5 0 & -1 & 1 & 4 0 & 0 & -2 & -2
  • Linha4 = Linha4 - 2×Linha1:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 0 & 0 & 0.5 & 2.5 0 & -1 & 1 & 4 0 & 0 & -2 & -2

Passo 4

Observamos que na segunda linha ainda temos um zero na segunda coluna. Vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 0 & -1 & 1 & 4 0 & 0 & 0.5 & 2.5 0 & 0 & -2 & -2

Passo 5

Agora, vamos tornar o pivô da segunda coluna igual a 1, multiplicando a segunda linha por -1:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 0 & 1 & -1 & -4 0 & 0 & 0.5 & 2.5 0 & 0 & -2 & -2

Passo 6

Vamos zerar os elementos abaixo do pivô da terceira coluna. Multiplicamos a terceira linha por 4 e adicionamos à quarta linha:
  • Linha4 = Linha4 + 4×Linha3:
1 & 0 & 1.5 & -0.5 0 & 1 & -1 & -4 0 & 0 & 0.5 & 2.5 0 & 0 & 0 & 8

Passo 7

Agora, nossa matriz está triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det A = 1 times 1 times 0.5 times 8 = 4

Passo 8

Vamos calcular o determinante da matriz A = 5 & 2 & 2 -1 & 1 & 2 3 & 0 & 0 usando escalonamento. A matriz é:
Vamos transformar essa matriz em triangular superior para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 9

Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 dividindo a primeira linha por 5:
1 & 0.4 & 0.4 -1 & 1 & 2 3 & 0 & 0

Passo 10

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô:
  • Linha2 = Linha2 + Linha1:
1 & 0.4 & 0.4 0 & 1.4 & 2.4 3 & 0 & 0
  • Linha3 = Linha3 - 3×Linha1:
1 & 0.4 & 0.4 0 & 1.4 & 2.4 0 & -1.2 & -1.2

Passo 11

Vamos tornar o pivô da segunda coluna igual a 1 dividindo a segunda linha por 1.4:
1 & 0.4 & 0.4 0 & 1 & 127 0 & -1.2 & -1.2

Passo 12

Agora, zeramos o elemento abaixo do segundo pivô:
  • Linha3 = Linha3 + 1.2×Linha2:
1 & 0.4 & 0.4 0 & 1 & 127 0 & 0 & 0
Como a última linha é toda zero, o determinante é zero.

Passo 13

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1 usando escalonamento. A matriz é:
Vamos transformar essa matriz em triangular superior para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 14

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 da primeira linha). Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da quarta linha:
  • Linha2 = Linha2 - 2×Linha1:
1 & -1 & 0 & 3 0 & 7 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1
  • Linha4 = Linha4 - Linha1:
1 & -1 & 0 & 3 0 & 7 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 5 & 2 & -2

Passo 15

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 1 & -1 & 0 & 3 0 & 1 & 27 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 5 & 2 & -2 para facilitar:
1 & -1 & 0 & 3 0 & 1 & 27 & 0 0 & 0 & -27 & 0 0 & 5 & 2 & -2
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira linha e 5 vezes a segunda linha da quarta linha:
  • Linha3 = Linha3 - Linha2:
1 & -1 & 0 & 3 0 & 1 & 27 & 0 0 & 0 & -27 & 0 0 & 0 & 47 & -2
  • Linha4 = Linha4 - 5×Linha2:

Passo 16

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô da terceira coluna. Multiplicamos a terceira linha por 1 & -1 & 0 & 3 0 & 1 & 27 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 47 & -2 para deixar o pivô igual a 1:
1 & -1 & 0 & 3 0 & 1 & 27 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2
Em seguida, subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:
  • Linha4 = Linha4 - ×Linha3:

Passo 17

Agora, nossa matriz está triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det A = 1 times 1 times 1 times (-2) = -2

Passo 18

Vamos calcular o determinante da matriz A = -4 & 1 & 3 2 & -2 & 4 1 & -1 & 0 usando escalonamento. A matriz é:
Vamos transformar essa matriz em triangular superior para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 19

Primeiro, vamos deixar o primeiro pivô igual a 1 dividindo a primeira linha por -4:
1 & -14 & -34 2 & -2 & 4 1 & -1 & 0

Passo 20

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da terceira linha:
  • Linha2 = Linha2 - 2×Linha1:
1 & -14 & -34 0 & -32 & 112 1 & -1 & 0
  • Linha3 = Linha3 - Linha1:
1 & -14 & -34 0 & -32 & 112 0 & -34 & 34

Passo 21

Vamos tornar o pivô da segunda coluna igual a 1 dividindo a segunda linha por 1 & -14 & -34 0 & 1 & -113 0 & -34 & 34 :
1 & -14 & -34 0 & 1 & -113 0 & 0 & -114
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô:
  • Linha3 = Linha3 + ×Linha2:

Passo 22

Agora, nossa matriz está triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det A = 1 times 1 times (-114) = -114
Mas lembrando que multiplicamos a primeira linha por det A = -4 times (-114) = 11 , o que altera o determinante original. Para compensar, multiplicamos o resultado por :

Resposta

O determinante da matriz é .

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