As coordenadas de um vetor u em relação à base B são dadas por uB=(4,0). Obtenha as coordenadas de u em relação às bases A e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um vetor cuja coordenada na base é . A questão pede para encontrar as coordenadas desse vetor nas bases e . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos usar a teoria de mudança de base e matrizes de transição para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como as bases uA = PB to A cdot uB , e estão relacionadas. Supondo que todas essas bases sejam para o espaço e que elas sejam formadas por vetores diferentes, precisamos encontrar as matrizes de transição entre essas bases.
Vamos lembrar que, para mudar as coordenadas de um vetor de uma base para uma base , usamos a matriz de transição de para , que chamaremos de . A relação é dada por:
Onde:
  • são as coordenadas do vetor na base
  • são as coordenadas do vetor na base
  • é a matriz que faz a transição de para

Passo 3

Para encontrar a matriz de transição A = a1, a2 , precisamos conhecer os vetores que formam as bases B = b1, b2 e PB to A = | & | [b1]A & [b2]A | & | . Supondo que as bases sejam dadas por:
A matriz de transição é formada colocando os vetores da base escritos na base como colunas. Ou seja:

Passo 4

Agora, multiplicamos a matriz de transição uA = PB to A cdot uB = | & | [b1]A & [b2]A | & | cdot 4 0 pelas coordenadas de uA = 4 cdot [b1]A + 0 cdot [b2]A = 4 cdot [b1]A na base para obter as coordenadas na base :
Isso simplifica para:
Então, as coordenadas de na base são simplesmente quatro vezes a representação de na base .

Passo 5

Da mesma forma, para encontrar as coordenadas de uC = PB to C cdot uB na base uC = | & | [b1]C & [b2]C | & | cdot 4 0 = 4 cdot [b1]C , usamos a matriz de transição :
E procedemos da mesma forma:

Resposta

As coordenadas do vetor nas bases e são, respectivamente, e .

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