Considere a matriz
. Verifique que:
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
e precisamos verificar três propriedades relacionadas à inversa da matriz, transposta e determinante. Vamos precisar entender o que é a matriz inversa, a transposta de uma matriz e como calcular o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é a matriz inversa. A matriz inversa
de uma matriz
é aquela que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade. Ou seja,
. Essa propriedade só existe se o determinante de
for diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos para a primeira parte do exercício:
(a)
O que essa expressão está dizendo é que a inversa da inversa de
é igual a
de volta. Para verificar isso, basta lembrar que a inversa de uma matriz inversa retorna à matriz original.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Para uma matriz 2x2
, a inversa é
.
No nosso caso:
Passo 5
Agora, vamos calcular a inversa de
, ou seja,
. Seguindo o mesmo processo:
Então,
está correto.
Passo 6
Vamos para a segunda parte:
(b)
Aqui,
representa a transposta de
, que é obtida trocando as linhas pelas colunas. Queremos mostrar que a inversa da transposta de
é igual à transposta da inversa de
.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Já sabemos que:
Sua transposta é:
Observamos que
, então a propriedade está confirmada.
Passo 9
Finalmente, a terceira parte:
©
Aqui, precisamos verificar se o determinante da inversa de
é igual a 1 dividido pelo determinante de
.
Passo 10
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, calculamos
. Sabemos que para qualquer matriz inversa, o determinante é o inverso do determinante da matriz original:
Portanto,
está correto.
Resposta
Concluindo, todas as propriedades apresentadas foram verificadas e estão corretas:
a) ;
b) ;
c) .
a)
b)
c)