Considere a matriz A=[ll3 & 1 5 & 2]. Verifique que:
(a) (A^-1)^-1=A;
(b) (A^t)^-1=(A^-1)^t;
© det(A^-1)=1det(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3 & 1 5 & 2 e precisamos verificar três propriedades relacionadas à inversa da matriz, transposta e determinante. Vamos precisar entender o que é a matriz inversa, a transposta de uma matriz e como calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a matriz inversa. A matriz inversa de uma matriz é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja, . Essa propriedade só existe se o determinante de for diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos para a primeira parte do exercício:
(a)
O que essa expressão está dizendo é que a inversa da inversa de é igual a de volta. Para verificar isso, basta lembrar que a inversa de uma matriz inversa retorna à matriz original.

Passo 4

Vamos calcular a & b c & d primeiro. Para uma matriz 2x2 d & -b -c & a , a inversa é A^-1 = 1(3)(2) - (1)(5) 2 & -1 -5 & 3 = 16 - 5 2 & -1 -5 & 3 = 2 & -1 -5 & 3 .
No nosso caso:

Passo 5

Agora, vamos calcular a inversa de (A^-1)^-1 = 1(2)(3) - (-1)(-5) 3 & 1 5 & 2 = 16 - 5 3 & 1 5 & 2 = 3 & 1 5 & 2 = A , ou seja, . Seguindo o mesmo processo:
Então, está correto.

Passo 6

Vamos para a segunda parte:
(b)
Aqui, representa a transposta de , que é obtida trocando as linhas pelas colunas. Queremos mostrar que a inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de .

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar A^t = 3 & 5 1 & 2 :
(A^t)^-1 = 1(3)(2) - (5)(1) 2 & -5 -1 & 3 = 16 - 5 2 & -5 -1 & 3 = 2 & -5 -1 & 3
Agora, vamos calcular :

Passo 8

Agora, vamos calcular A^-1 = 2 & -1 -5 & 3 . Já sabemos que:
(A^-1)^t = 2 & -5 -1 & 3
Sua transposta é:
Observamos que , então a propriedade está confirmada.

Passo 9

Finalmente, a terceira parte:
©
Aqui, precisamos verificar se o determinante da inversa de é igual a 1 dividido pelo determinante de .

Passo 10

Primeiro, vamos calcular det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 :
det(A^-1) = 1det(A) = 11 = 1
Agora, calculamos . Sabemos que para qualquer matriz inversa, o determinante é o inverso do determinante da matriz original:
Portanto, está correto.

Resposta

Concluindo, todas as propriedades apresentadas foram verificadas e estão corretas:
a) ;
b) ;
c) .

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