Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as matrizes de mudança de base , e . Isso está relacionado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as bases , e dos espaços vetoriais envolvidos. Essas matrizes ajudam a converter vetores de uma base para outra de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Suponha que temos duas bases para o mesmo espaço vetorial, digamos e . A matriz transforma coordenadas de vetores na base para coordenadas na base . Ou seja, se você tiver um vetor representado em , ao multiplicar por , você obtém sua representação em .
Passo 3
Para calcular , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Suponha que e . Para cada , encontraremos coeficientes tais que:
Esses coeficientes formam as colunas da matriz .
Passo 4
Depois de encontrar todos os coeficientes, organizamos a matriz colocando cada coluna com os coeficientes correspondentes a cada vetor de . A matriz resultante terá a forma:
Passo 5
Para encontrar MB^A = ( MA^B )^-1 , que faz a conversão de para , podemos usar que é a inversa de , ou seja:
Então, após calcular , basta inverter essa matriz para obter .
Passo 6
Para calcular , seguimos o mesmo procedimento. Expressamos cada vetor da base em termos da base , encontrando os coeficientes correspondentes e organizando-os em colunas para formar a matriz .
Resposta
As matrizes de mudança de base são calculadas expressando cada vetor da base de origem em termos da base de destino e organizando os coeficientes resultantes em colunas. Assim, temos: