Calcule as matrizes de mudança de base MA^B, MB^A e MC^A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as matrizes de mudança de base , e . Isso está relacionado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as bases , e dos espaços vetoriais envolvidos. Essas matrizes ajudam a converter vetores de uma base para outra de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Suponha que temos duas bases para o mesmo espaço vetorial, digamos e . A matriz transforma coordenadas de vetores na base para coordenadas na base . Ou seja, se você tiver um vetor representado em , ao multiplicar por , você obtém sua representação em .

Passo 3

Para calcular bi = c1ia1 + c2ia2 + ldots + cnian , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Suponha que e . Para cada , encontraremos coeficientes tais que:
Esses coeficientes formam as colunas da matriz .

Passo 4

Depois de encontrar todos os coeficientes, organizamos a matriz MA^B = c11 & c12 & cdots & c1n c21 & c22 & cdots & c2n vdots & vdots & ddots & vdots cn1 & cn2 & cdots & cnn colocando cada coluna com os coeficientes correspondentes a cada vetor de . A matriz resultante terá a forma:

Passo 5

Para encontrar MB^A = ( MA^B )^-1 , que faz a conversão de para , podemos usar que é a inversa de , ou seja:
Então, após calcular , basta inverter essa matriz para obter .

Passo 6

Para calcular , seguimos o mesmo procedimento. Expressamos cada vetor da base em termos da base , encontrando os coeficientes correspondentes e organizando-os em colunas para formar a matriz .

Resposta

As matrizes de mudança de base são calculadas expressando cada vetor da base de origem em termos da base de destino e organizando os coeficientes resultantes em colunas. Assim, temos:
MA^B = c11 & c12 & cdots & c1n c21 & c22 & cdots & c2n vdots & vdots & ddots & vdots cn1 & cn2 & cdots & cnn , MB^A = ( MA^B )^-1, MC^A = d11 & d12 & cdots & d1n d21 & d22 & cdots & d2n vdots & vdots & ddots & vdots dn1 & dn2 & cdots & dnn
Essas matrizes permitem converter coordenadas de uma base para outra de maneira eficiente.

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