Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema de três equações lineares tenha uma única solução. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes, que nos ajudam a saber se o sistema tem uma solução única, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações do sistema de forma organizada:
x + y + k z = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y - z = 1
Aqui, as incógnitas são , e , e é um parâmetro que queremos determinar.

Passo 3

Para que esse sistema tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. A matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1 é:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , denotado por det(A) = 1 cdot (4 cdot (-1) - 2 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) . A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = 1 cdot (-4 - 6) - 1 cdot (-3 - 4) + k cdot (9 - 8)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = -10 + 7 + k cdot 1
Simplificando cada parte:
det(A) = -3 + k

Passo 5

Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que -3 + k neq 0 :
k neq 3

Resposta

Os valores reais de que fazem o sistema ter uma única solução são todos os números reais exceto .

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