Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: Existe um elemento de V, denotado por 0 , tal que u+0=u, forall u in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto tem um elemento especial, chamado de zero ( ), que quando somado a qualquer outro elemento de , não muda o valor de . Esse conceito está ligado à teoria de espaços vetoriais, onde esse elemento é conhecido como o elemento neutro da adição. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como a adição funciona em e identificar se existe mesmo esse elemento que satisfaz para todo em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em matemática, o elemento neutro para uma operação é aquele que, quando aplicado a qualquer elemento do conjunto, não altera esse elemento. No caso da adição, o neutro é o zero, porque .

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é esse elemento no conjunto . Isso vai depender da definição específica de . Por exemplo, se for o conjunto dos números reais ( ), então é o próprio zero. Se for um conjunto de vetores, o zero será o vetor cujas todas as componentes são zero.

Passo 4

Vamos supor que seja um espaço vetorial qualquer. Nesse caso, por definição de espaço vetorial, existe sim um elemento que funciona como o neutro da adição. Então, para qualquer vetor em , temos que .

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar com um exemplo específico. Suponha que seja o conjunto das coordenadas no plano ( ). O elemento seria o vetor . Se somarmos qualquer vetor com , o resultado é , que é exatamente o vetor original.

Resposta

Sim, o conjunto possui um elemento tal que para todo .

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