Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: Existe um elemento de
, denotado por 0 , tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
tem um elemento especial, chamado de zero (
), que quando somado a qualquer outro elemento
de
, não muda o valor de
. Esse conceito está ligado à teoria de espaços vetoriais, onde esse elemento
é conhecido como o elemento neutro da adição. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como a adição funciona em
e identificar se existe mesmo esse elemento
que satisfaz
para todo
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em matemática, o elemento neutro para uma operação é aquele que, quando aplicado a qualquer elemento do conjunto, não altera esse elemento. No caso da adição, o neutro é o zero, porque
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é esse elemento
no conjunto
. Isso vai depender da definição específica de
. Por exemplo, se
for o conjunto dos números reais (
), então
é o próprio zero. Se
for um conjunto de vetores, o zero será o vetor cujas todas as componentes são zero.
Passo 4
Vamos supor que
seja um espaço vetorial qualquer. Nesse caso, por definição de espaço vetorial, existe sim um elemento
que funciona como o neutro da adição. Então, para qualquer vetor
em
, temos que
.
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar com um exemplo específico. Suponha que
seja o conjunto das coordenadas no plano (
). O elemento
seria o vetor
. Se somarmos qualquer vetor
com
, o resultado é
, que é exatamente o vetor original.
Resposta
Sim, o conjunto
possui um elemento
tal que
para todo
.