Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: Existe um elemento de , denotado por 0 , tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto tem um elemento especial, chamado de zero (), que quando somado a qualquer outro elemento de , não muda o valor de . Esse conceito está ligado à teoria de espaços vetoriais, onde esse elemento é conhecido como o elemento neutro da adição. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como a adição funciona em e identificar se existe mesmo esse elemento que satisfaz para todo em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em matemática, o elemento neutro para uma operação é aquele que, quando aplicado a qualquer elemento do conjunto, não altera esse elemento. No caso da adição, o neutro é o zero, porque .
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é esse elemento no conjunto . Isso vai depender da definição específica de . Por exemplo, se for o conjunto dos números reais (), então é o próprio zero. Se for um conjunto de vetores, o zero será o vetor cujas todas as componentes são zero.
Passo 4
Vamos supor que seja um espaço vetorial qualquer. Nesse caso, por definição de espaço vetorial, existe sim um elemento que funciona como o neutro da adição. Então, para qualquer vetor em , temos que .
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar com um exemplo específico. Suponha que seja o conjunto das coordenadas no plano (). O elemento seria o vetor . Se somarmos qualquer vetor com , o resultado é , que é exatamente o vetor original.
Resposta
Sim, o conjunto possui um elemento tal que para todo .