Mostre que a transformação f(x, y) = (x/2, y/3), transforma a elipse 9 x^2 + 4 y^2 = 36 no círculo unitário centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a transformação muda a elipse em um círculo unitário centrado na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e transformações lineares. Precisaremos manipular as equações para ver como a transformação afeta a forma da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse que temos: . Uma elipse padrão tem a forma . Vamos reescrever a equação da elipse dessa forma dividindo ambos os lados por 36:
Aqui, percebemos que e , então e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação . Vamos chamar as novas coordenadas de , onde:
Isso significa que para voltar às coordenadas originais em termos de e , temos:

Passo 4

Substituímos e nas equações da elipse pela transformação que acabamos de definir:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

A equação resultante é a equação de um círculo unitário centrado na origem. Isso mostra que a transformação realmente converte a elipse dada em um círculo unitário.

Resposta

A transformação transforma a elipse no círculo unitário .

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