Mostre que a transformação
, transforma a elipse
no círculo unitário centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a transformação
muda a elipse
em um círculo unitário centrado na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e transformações lineares. Precisaremos manipular as equações para ver como a transformação afeta a forma da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse que temos:
. Uma elipse padrão tem a forma
. Vamos reescrever a equação da elipse dessa forma dividindo ambos os lados por 36:
Aqui, percebemos que
e
, então
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação
. Vamos chamar as novas coordenadas de
, onde:
Isso significa que para voltar às coordenadas originais em termos de
e
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
nas equações da elipse pela transformação que acabamos de definir:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 5
A equação resultante
é a equação de um círculo unitário centrado na origem. Isso mostra que a transformação
realmente converte a elipse dada em um círculo unitário.
Resposta
A transformação
transforma a elipse
no círculo unitário
.
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em
.
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. Faça um esboço da região de integração.
e
.