Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a integrabilidade da função
definida de forma diferente dependendo de
. A gente vai trabalhar dentro da região
que é uma elipse dada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável em uma certa região e verificar se
atende a esses critérios dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integrabilidade. Uma função é integrável em uma região se a integral dupla dela nessa região existe e é finita. Isso significa que, ao somar todos os valores da função dentro da região
, a gente consegue obter um número real.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Ela é definida de duas formas:
- Se
, então - Se
, então
Observamos que a função tem uma descontinuidade quando
. Precisamos verificar se essa descontinuidade afeta a integrabilidade.
Passo 4
Vamos ver onde a descontinuidade ocorre dentro da região
. A região
é uma elipse, mas a descontinuidade ocorre na circunferência
. Precisamos verificar se essa circunferência está dentro de
.
Para isso, comparando as duas equações:
Vemos que a circunferência
está completamente dentro da elipse
, porque para os mesmos valores de
e
,
sempre que
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento da função
perto da descontinuidade. Vamos examinar o limite de
quando
se aproxima de 1.
Observamos que:
Portanto, mesmo que a função tenha uma descontinuidade pontual em
, ela não causa problemas na integral, já que o conjunto de pontos onde a função é descontínua tem medida zero.
Passo 6
Como a função
é contínua em toda a região
, exceto em um conjunto de pontos de medida zero (a circunferência
), ela é integrável em
.
Resposta
Portanto, a função
é integrável na região
.
Exercícios relacionados
Mostre que a transformação
, transforma a elipse
no círculo unitário centro na origem.
Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.