Estude a integrabilidade das funções dadas. f(x, y)=llsen^2(x^2+y^2-1)x^2+y^2-1 & se x^2+y^2 neq 1, 1 & se x^2+y^2=1 ; em B=(x, y): x^24+y^29 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a integrabilidade da função definida de forma diferente dependendo de . A gente vai trabalhar dentro da região que é uma elipse dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável em uma certa região e verificar se atende a esses critérios dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integrabilidade. Uma função é integrável em uma região se a integral dupla dela nessa região existe e é finita. Isso significa que, ao somar todos os valores da função dentro da região , a gente consegue obter um número real.

Passo 3

Vamos analisar a função f(x, y) = sen^2(x^2 + y^2 - 1)x^2 + y^2 - 1 . Ela é definida de duas formas:
  • Se f(x, y) = 1 , então
  • Se , então
Observamos que a função tem uma descontinuidade quando . Precisamos verificar se essa descontinuidade afeta a integrabilidade.

Passo 4

Vamos ver onde a descontinuidade ocorre dentro da região x^24 + y^29 = 1 e x^2 + y^2 = 1 . A região é uma elipse, mas a descontinuidade ocorre na circunferência . Precisamos verificar se essa circunferência está dentro de .
Para isso, comparando as duas equações:
Vemos que a circunferência está completamente dentro da elipse , porque para os mesmos valores de e , sempre que .

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento da função limt to 0 sen^2(t)t = limt to 0 sen^2(t)t = 0 perto da descontinuidade. Vamos examinar o limite de quando se aproxima de 1.
Observamos que:
Portanto, mesmo que a função tenha uma descontinuidade pontual em , ela não causa problemas na integral, já que o conjunto de pontos onde a função é descontínua tem medida zero.

Passo 6

Como a função é contínua em toda a região , exceto em um conjunto de pontos de medida zero (a circunferência ), ela é integrável em .

Resposta

Portanto, a função é integrável na região .

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