Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa. f(x, y) = (2*x - y, x + 4*y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante Jacobiano da transformação e, se possível, encontrar a transformação inversa. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e como elas transformam o espaço. Vamos precisar usar o conceito de matriz Jacobiana e determinantes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz Jacobiana da função . A matriz Jacobiana é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções que definem a transformação.
Para a função , temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a matriz Jacobiana é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz Jacobiana. O determinante de uma matriz é dado por:
Onde, para nossa matriz:
Então:

Passo 4

Como o determinante Jacobiano é diferente de zero ( ), isso significa que a transformação é localmente invertível. Agora, vamos encontrar a transformação inversa .
Para uma função linear como essa, a inversa pode ser encontrada calculando a inversa da matriz Jacobiana.
A matriz Jacobiana inversa é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, aplicando essa inversa à transformação, temos:
Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

O determinante Jacobiano é e a transformação inversa é .

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