Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante Jacobiano da transformação
e, se possível, encontrar a transformação inversa. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e como elas transformam o espaço. Vamos precisar usar o conceito de matriz Jacobiana e determinantes para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz Jacobiana da função
. A matriz Jacobiana é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções que definem a transformação.
Para a função
, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a matriz Jacobiana
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz Jacobiana. O determinante de uma matriz
é dado por:
Onde, para nossa matriz:
Então:
Passo 4
Como o determinante Jacobiano é diferente de zero (
), isso significa que a transformação é localmente invertível. Agora, vamos encontrar a transformação inversa
.
Para uma função linear como essa, a inversa pode ser encontrada calculando a inversa da matriz Jacobiana.
A matriz Jacobiana inversa
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicando essa inversa à transformação, temos:
Portanto, a transformação inversa
é:
Resposta
O determinante Jacobiano é
e a transformação inversa é
.