Considere a transformação f(x, y) = (x + y, x - y). Calcule o determinante Jacobiano de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante Jacobiano da transformação . Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente envolvendo transformações de variáveis e determinantes de matrizes chamadas jacobianas. Para resolver, vamos precisar montar a matriz jacobiana dessa função e então calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz Jacobiana. Para uma transformação , a matriz Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais de e em relação a e . Ou seja,

Passo 3

Vamos identificar e na nossa transformação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, montamos a matriz Jacobiana:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por .
Aplicando isso ao nosso Jacobiano:

Resposta

O determinante Jacobiano da transformação é .

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