Considere a transformação
. Calcule o determinante Jacobiano de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante Jacobiano da transformação
. Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente envolvendo transformações de variáveis e determinantes de matrizes chamadas jacobianas. Para resolver, vamos precisar montar a matriz jacobiana dessa função e então calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz Jacobiana. Para uma transformação
, a matriz Jacobiana é uma matriz
que contém as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Ou seja,
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa transformação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, montamos a matriz Jacobiana:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz
é dado por
.
Aplicando isso ao nosso Jacobiano:
Resposta
O determinante Jacobiano da transformação
é
.