Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=1x+y e B=[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla. A questão pede para calcular a integral de f(x, y) = 1x+y sobre a região B = [1,2] times [0,1]. Isso significa que vamos integrar a função em uma área retangular onde x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais duplas e visualizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. Como B = [1,2] times [0,1], isso representa um retângulo no plano xy com x indo de 1 a 2 e y indo de 0 a 1. Vou desenhar um esboço rápido:
y
|
1 |-------- 
  |        |
0 |-------- 
    1    2    x

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Para uma função f(x, y) sobre uma região retangular, podemos escrever a integral como:
integralx=1^2 integraly=0^1 1x+y , dy , dx
Isso significa que primeiro integramos em relação a y, mantendo x fixo, e depois integramos o resultado em relação a x.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 1x+y , dy
Essa é uma integral simples que podemos calcular usando a antiderivada de 1x+y em relação a y. A antiderivada é ln|x+y|.

Passo 5

Calculando a integral de y:
ln(x+y) |0^1 = ln(x+1) - ln(x)
Isso simplifica para:
ln(x+1x)

Passo 6

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral1^2 ln(x+1x) , dx
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
x+1x = 1 + 1x
Então, temos:
integral1^2 ln(1 + 1x) , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar u = x, então du = dx. A integral fica:
integral1^2 ln(1 + 1u) , du
Essa integral não tem uma antiderivada elementar simples, mas podemos calcular numericamente ou reconhecer que ela representa a diferença de algumas funções especiais. Porém, para simplificar, podemos avaliar numericamente.

Passo 8

Vamos calcular numericamente a integral:
integral1^2 ln(1 + 1x) , dx approx 0,386

Resposta

A integral dupla integral duplaB 1x+y , dx , dy sobre a região B = [1,2] times [0,1] é aproximadamente 0,386.

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