Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla. A questão pede para calcular a integral de sobre a região . Isso significa que vamos integrar a função em uma área retangular onde varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais duplas e visualizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Como , isso representa um retângulo no plano com indo de 1 a 2 e indo de 0 a 1. Vou desenhar um esboço rápido:
y
|
1 |-------- 
  |        |
0 |-------- 
    1    2    x

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Para uma função sobre uma região retangular, podemos escrever a integral como:
Isso significa que primeiro integramos em relação a , mantendo fixo, e depois integramos o resultado em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Essa é uma integral simples que podemos calcular usando a antiderivada de em relação a . A antiderivada é .

Passo 5

Calculando a integral de :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, temos:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar , então . A integral fica:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar simples, mas podemos calcular numericamente ou reconhecer que ela representa a diferença de algumas funções especiais. Porém, para simplificar, podemos avaliar numericamente.

Passo 8

Vamos calcular numericamente a integral:

Resposta

A integral dupla sobre a região é aproximadamente .

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Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.