Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla. A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
. Isso significa que vamos integrar a função em uma área retangular onde
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer integrais duplas e visualizar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Como
, isso representa um retângulo no plano
com
indo de 1 a 2 e
indo de 0 a 1. Vou desenhar um esboço rápido:
y
|
1 |--------
| |
0 |--------
1 2 x
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Para uma função
sobre uma região retangular, podemos escrever a integral como:
Isso significa que primeiro integramos em relação a
, mantendo
fixo, e depois integramos o resultado em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Essa é uma integral simples que podemos calcular usando a antiderivada de
em relação a
. A antiderivada é
.
Passo 5
Calculando a integral de
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, temos:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
, então
. A integral fica:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar simples, mas podemos calcular numericamente ou reconhecer que ela representa a diferença de algumas funções especiais. Porém, para simplificar, podemos avaliar numericamente.
Passo 8
Vamos calcular numericamente a integral:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é aproximadamente
.
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Considere a transformação
. Calcule o determinante Jacobiano de
.
Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
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. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.