Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede pra calcular o determinante Jacobiano e, se possível, achar a transformação inversa da função . Pra isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente sobre o determinante Jacobiano e transformações inversas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Jacobiano. Ele é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. No nosso caso, a função tem três componentes: , e . Então, o Jacobiano será uma matriz 3x3 onde cada elemento é a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz Jacobiana. O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala o volume no espaço. Para uma matriz diagonal como essa, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Como o determinante Jacobiano é diferente de zero ( ), isso significa que a transformação é inversível. Ou seja, existe uma função inversa que desfaz a ação de .

Passo 6

Vamos achar a transformação inversa . Como é uma transformação linear simples, podemos inverter cada componente individualmente:

Resposta

O determinante Jacobiano é e a transformação inversa é .

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