Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida de forma diferente dependendo se o ponto
é
ou não. O objetivo é estudar se essa função é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas parciais. Vamos passo a passo descobrir se dá para dizer que a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no ponto
. A continuidade é importante porque, se a função não for contínua nesse ponto, ela não pode ser diferenciável lá.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, e
tende a 0.
Substituindo na função:
Passo 4
Vemos que o limite depende de
, ou seja, do caminho que escolhemos para nos aproximar de
. Como
pode assumir diferentes valores dependendo de
, o limite não é único.
Passo 5
Já que o limite de
quando
tende a
não existe de forma única, a função não é contínua nesse ponto.
Passo 6
Como a função não é contínua em
, não precisamos verificar as derivadas parciais. A diferenciabilidade requer continuidade.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
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Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Considere a transformação
. Represente graficamente
e
.