Estude a diferenciabilidade das funções dadas.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo se o ponto é ou não. O objetivo é estudar se essa função é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas parciais. Vamos passo a passo descobrir se dá para dizer que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no ponto . A continuidade é importante porque, se a função não for contínua nesse ponto, ela não pode ser diferenciável lá.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e , e tende a 0.
Substituindo na função:

Passo 4

Vemos que o limite depende de , ou seja, do caminho que escolhemos para nos aproximar de . Como pode assumir diferentes valores dependendo de , o limite não é único.

Passo 5

Já que o limite de quando tende a não existe de forma única, a função não é contínua nesse ponto.

Passo 6

Como a função não é contínua em , não precisamos verificar as derivadas parciais. A diferenciabilidade requer continuidade.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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