Mostre que a transformação f(x, y) = (2x + 3y, x + y), transforma o que dado unitário de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e 0,1 em um paralelogramo de área |det(Jf)|.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a transformação transforma o quadrado unitário, que tem vértices em e , em um paralelogramo cuja área é igual ao valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, matriz Jacobiana e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz Jacobiana da transformação . A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente de em relação às variáveis e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, a matriz Jacobiana é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de :
O valor absoluto do determinante é .

Resposta

A transformação transforma o quadrado unitário em um paralelogramo de área igual a 1, que é o valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana .

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