Mostre que a transformação
, transforma o que dado unitário de vértices
e
em um paralelogramo de área
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que a transformação
transforma o quadrado unitário, que tem vértices em
e
, em um paralelogramo cuja área é igual ao valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, matriz Jacobiana e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz Jacobiana
da transformação
. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente de
em relação às variáveis
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, a matriz Jacobiana
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de
:
O valor absoluto do determinante é
.
Resposta
A transformação
transforma o quadrado unitário em um paralelogramo de área igual a 1, que é o valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana
.
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Considere a transformação
. Represente graficamente
e
.
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em
e
.