Considere a transformação
. Represente graficamente
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a transformação
e desenhar graficamente o conjunto
e a imagem desse conjunto sob a transformação, que é
. Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e representação gráfica de conjuntos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nos pontos do conjunto
e depois plotar tanto
quanto
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do conjunto
. Como
é um quadrado no plano, seus vértices são:
Agora, vamos aplicar a transformação
em cada um desses vértices para encontrar os vértices de
.
Aplicando
nos vértices de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os vértices de
são:
Passo 3
Com os vértices de
e
identificados, vamos desenhar esses conjuntos no plano cartesiano.
-
Desenhando
: - É um quadrado com lados de comprimento 1, começando no ponto
até .
- É um quadrado com lados de comprimento 1, começando no ponto
-
Desenhando
: - Os vértices são
, , e . - Conectando esses pontos, vemos que
forma um losango ou um paralelogramo inclinado.
- Os vértices são
Passo 4
Vamos analisar um pouco o que aconteceu com a transformação:
- A transformação
basicamente está esticando e girando o conjunto . - Notamos que a área do conjunto transformado pode ter mudado. Para verificar isso, podemos calcular o determinante da matriz associada à transformação.
A matriz da transformação
é:
O determinante dessa matriz é:
O valor absoluto do determinante nos informa que a área foi multiplicada por 2. Como a área original de
é 1, a área de
será 2.
Resposta
Finalizando, representamos graficamente o conjunto
como um quadrado no plano cartesiano. Após aplicar a transformação
, a imagem
resulta em um losango com vértices em
,
,
e
, que tem o dobro da área do conjunto original.
Exercícios relacionados
Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Mostre que a transformação
, transforma o que dado unitário de vértices
e
em um paralelogramo de área
.
Mostre que a união finita de conjuntos de conteúdo nulo é um conjunto de conteúdo nulo.