Considere a transformação . Represente graficamente e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a transformação e desenhar graficamente o conjunto e a imagem desse conjunto sob a transformação, que é . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e representação gráfica de conjuntos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nos pontos do conjunto e depois plotar tanto quanto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do conjunto . Como é um quadrado no plano, seus vértices são:
Agora, vamos aplicar a transformação em cada um desses vértices para encontrar os vértices de .
Aplicando nos vértices de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
Então, os vértices de são:

Passo 3

Com os vértices de e identificados, vamos desenhar esses conjuntos no plano cartesiano.
  1. Desenhando :
    • É um quadrado com lados de comprimento 1, começando no ponto até .
  2. Desenhando :
    • Os vértices são , , e .
    • Conectando esses pontos, vemos que forma um losango ou um paralelogramo inclinado.

Passo 4

Vamos analisar um pouco o que aconteceu com a transformação:
  • A transformação basicamente está esticando e girando o conjunto .
  • Notamos que a área do conjunto transformado pode ter mudado. Para verificar isso, podemos calcular o determinante da matriz associada à transformação.
A matriz da transformação é:
O determinante dessa matriz é:
O valor absoluto do determinante nos informa que a área foi multiplicada por 2. Como a área original de é 1, a área de será 2.

Resposta

Finalizando, representamos graficamente o conjunto como um quadrado no plano cartesiano. Após aplicar a transformação , a imagem resulta em um losango com vértices em , , e , que tem o dobro da área do conjunto original.

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